Сколько женщин работало в саду, если первая собрала 50 яблок, а каждая следующая собрала в два раза больше предыдущей

Чтобы найти количество женщин, которые работали в саду, мы можем использовать метод подстановки. Поскольку первая женщина собрала 50 яблок, можем предположить, что вторая собрала вдвое больше, то есть 50 \(\times\) 2 = 100 яблок. Затем можно предположить, что третья собрала вдвое больше, то есть 100 \(\times\) 2 = 200 яблок, и так далее.

Мы можем записать это в виде последовательности:

50, 100, 200, ...

Нам нужно найти количество членов этой последовательности, чтобы сумма яблок составляла 1550. Давайте найдем это количество, неявно отметив его переменной \(n\).

Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии (где каждый следующий член больше предыдущего на постоянное значение) может быть найдена по формуле:

\[S_n = \frac{n}{2}(a + l)\]

Где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов, \(a\) - первый член, \(l\) - последний член.

В данном случае, сумма первых \(n\) членов должна быть равна 1550, поэтому мы можем записать уравнение:

\[\frac{n}{2}(50 + l) = 1550\]

Чтобы найти \(l\) (последний член), нам нужно найти \(n\), количество женщин в саду.

Давайте решим это уравнение:

\[\frac{n}{2}(50 + l) = 1550\]

Мы знаем, что первый член a = 50, поэтому подставим это значение:

\[\frac{n}{2}(50 + l) = 1550\]
\[n(50 + l) = 3100\]
\[50n + ln = 3100\]
\[ln = 3100 - 50n\]

Так как \(l = 50n\):

\[ln = 3100 - 50n\]
\[50n^2 = 3100 - 50n\]
\[50n^2 + 50n - 3100 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = (50)^2 - 4(50)(-3100)\]
\[D = 2500 + 620000\]
\[D = 622500\]

Так как \(D > 0\), у нас есть два корня:

\[n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\]
\[n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения:

\[n_1 = \frac{-50 + \sqrt{622500}}{2(50)}\]
\[n_1 = \frac{-50 + 750}{100}\]
\[n_1 = \frac{700}{100}\]
\[n_1 = 7\]

\[n_2 = \frac{-50 - \sqrt{622500}}{2(50)}\]
\[n_2 = \frac{-50 - 750}{100}\]
\[n_2 = -\frac{800}{100}\]
\[n_2 = -8\]

Так как количество женщин не может быть отрицательным, мы выбираем положительный корень \(n_1 = 7\).

Итак, в саду работало 7 женщин.