Сколько юношей приняло участие в соревнованиях, если первый юноша забил 5 мячей, а каждый последующий юноша забивал

Данная задача является примером арифметической прогрессии. Для решения задачи, мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии.

Пусть первый юноша забил 5 мячей, а каждый последующий забивал в два раза больше предыдущего. Обозначим это как \(a_1 = 5\) - первый член прогрессии и \(d = 2\) - разность прогрессии.

Также, обозначим количество юношей, которые приняли участие в соревнованиях, как \(n\).

Сумма арифметической прогрессии может быть найдена по формуле:

\[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии.

Мы знаем, что общее количество забитых мячей составляет 65.

Подставим известные значения в формулу и решим уравнение:

\[65 = \frac{n}{2}(2 \cdot 5 + (n-1) \cdot 2)\]

Распишем выражение в скобках:

\[65 = \frac{n}{2}(10 + 2n - 2)\]

Упростим выражение:

\[65 = \frac{n}{2}(8 + 2n)\]

Раскроем скобку:

\[65 = \frac{n}{2}(2n + 8)\]

Умножим обе части уравнения на 2:

\[130 = n(2n + 8)\]

Распишем полученное квадратное уравнение:

\[2n^2 + 8n - 130 = 0\]

Решим данное квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

\[n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где \(a = 2\), \(b = 8\), и \(c = -130\).

Подставим известные значения и вычислим:

\[n = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 2 \cdot -130}}{2 \cdot 2}\]

Выполним вычисления подкоренного выражения:

\[n = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 1040}}{4}\]
\[n = \frac{-8 \pm \sqrt{1104}}{4}\]
\[n = \frac{-8 \pm 33.24}{4}\]

Разделим числитель на знаменатель:

\[n_1 = \frac{-8 + 33.24}{4} = 6.31\]

\[n_2 = \frac{-8 - 33.24}{4} = -10.06\]

Ответ: Решением уравнения является два значения - положительное и отрицательное. В данном случае, мы рассматриваем только положительное значение, поскольку нельзя иметь отрицательное количество юношей.

Поэтому, количество юношей, принявших участие в соревнованиях, составляет приблизительно 6 человек.