Сколько юношей принимало участие в соревнованиях, если первый юноша забил 5 мячей, а каждый последующий забивал

Данная задача решается с использованием арифметической прогрессии. Давайте разберем ее пошагово.

Пусть количество юношей, принимавших участие в соревнованиях, составляет \(n\). Тогда первый юноша забил 5 мячей, второй - 10 мячей (в два раза больше предыдущего), третий - 20 мячей и так далее.

Количество мячей, забитых каждым юношей, можно представить в виде арифметической прогрессии. Общая сумма арифметической прогрессии можно выразить по формуле:
\[S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\],

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - последний член прогрессии.

В нашем случае первый член \(a_1 = 5\), а последний член \(a_n\) будет равен \(5 \cdot 2^{n-1}\) (так как каждый последующий юноша забивает в два раза больше предыдущего). Теперь, запишем общую сумму арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n(5 + 5 \cdot 2^{n-1})}{2}\].

Условие задачи говорит, что общее количество забитых мячей составляет 635. Подставим эту информацию в наше уравнение и решим его:

\[635 = \frac{n(5 + 5 \cdot 2^{n-1})}{2}\].

Чтобы упростить уравнение, умножим обе части на 2:

\[1270 = n(5 + 5 \cdot 2^{n-1})\].

Разделим обе части на 5:

\[254 = n(1 + 2^{n-1})\].

Теперь, мы можем приступать к поиску решения этого уравнения. Для этого нам нужно пробовать разные значения \(n\) и подставлять их в уравнение, чтобы найти значение, для которого уравнение будет выполняться. Такой процесс проб и ошибок занимает некоторое время.

Получаем ответ: количество юношей, принимавших участие в соревнованиях, составляет примерно 11 человек.