В треугольнике ABC с углом A, который больше 90 градусов, проведены высоты AA1, BB1, CC1, которые пересекаются в точке

ABC. Давайте начнем с построения картинки, чтобы лучше понять задачу.

*Здесь будет картинка треугольника ABC с высотами AA1, BB1, CC1, и центром описанной окружности O.*

Для начала, чтобы найти меру угла BAC, мы можем воспользоваться тем, что сумма углов треугольника равна 180 градусов. У нас уже есть два угла известных треугольников A1B1C1 и B1A1C1, и мы можем найти их сумму.

Угол B1A1C1 равен 36 градусов, а угол A1B1C1 равен 64 градуса. Сумма этих углов будет:

\[ B1A1C1 + A1B1C1 = 36 + 64 = 100 \]

Используя то, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, мы можем найти меру угла BAC:

\[ BAC = 180 - (B1A1C1 + A1B1C1) = 180 - 100 = 80 \]

Таким образом, мера угла BAC равна 80 градусов.

Теперь давайте найдем меру угла B1C1H. Мы видим, что угол B1C1H образован прямой линией, проходящей через центр описанной окружности O, и высотой B1C1. Так как B1C1H является центральным углом, мера этого угла равна удвоенной мере дуги B1C1 на окружности.

Для этого нам необходимо найти меру дуги B1C1. Но сначала давайте обратим внимание на то, что высота B1C1 проходит через центр описанной окружности треугольника. Это означает, что угол OCB1 и угол OCA1 равны прямым углам.

Поскольку угол OCB1 прямой, то прибавив меру угла OCB1 к мере B1C1H, мы должны получить прямой угол, то есть 90 градусов.

\[ B1C1H + OCB1 = 90 \]

Теперь найдем меру дуги B1C1.

Мы знаем, что угол A1B1C1 равен 64 градуса. Это также является мерой дуги AC1 на окружности, так как угол, обхватывающий эти дугу, сохраняет ее меру.

Теперь обратимся к треугольнику ABC. Угол BAC равен 80 градусов, и это также является мерой дуги BC на окружности.

Таким образом, дуга B1C1 на окружности имеет меру:

\[ B1C1 = 180 - (AC1 + BC) = 180 - (64 + 80) = 36 \]

Теперь мы можем найти меру угла B1C1H, используя тот факт, что угол B1C1H равен удвоенной мере дуги B1C1:

\[ B1C1H = 2 \cdot B1C1 = 2 \cdot 36 = 72 \]

Таким образом, мера угла B1C1H равна 72 градуса.

Осталось найти меру угла ABC. Мы знаем, что угол BAC равен 80 градусов, а угол B1A1C1 равен 36 градусов. Тогда сумма углов ABC и A1B1C1 должна быть равной 180 градусов:

\[ ABC + A1B1C1 = 180 \]

Теперь мы можем найти меру угла ABC:

\[ ABC = 180 - A1B1C1 = 180 - 36 = 144 \]

Таким образом, мера угла ABC равна 144 градусам.