Сколько юношей из 10 участников можно выбрать для участия в турнире в шахматном кружке, где 12 юношей имеют одинаковые

Чтобы решить эту задачу, нужно использовать понятие комбинаторики. Для определения количества способов выбора определенного количества участников из заданного числа, мы будем использовать формулу биномиального коэффициента.

В данной задаче мы должны выбрать \(k\) юношей из 10 участников. Так как все 12 юношей имеют одинаковые успехи, нам не важно, какие из них мы выбираем.

Формула биномиального коэффициента выглядит следующим образом:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}
\]

Где \(C(n, k)\) - это количество способов выбора \(k\) объектов из \(n\) объектов.

В данной задаче мы будем использовать эту формулу для вычисления числа способов выбора \(k\) юношей из 10 участников.

\[
C(10, k) = \frac{{10!}}{{k! \cdot (10-k)!}}
\]

Теперь, чтобы вычислить количество способов выбора \(k\) юношей из 10, нам нужно заменить \(k\) на соответствующее значение (1, 2, 3, ..., 10).

\[
C(10, 1) = \frac{{10!}}{{1! \cdot (10-1)!}}
\]
\[
C(10, 2) = \frac{{10!}}{{2! \cdot (10-2)!}}
\]
\[
C(10, 3) = \frac{{10!}}{{3! \cdot (10-3)!}}
\]
...
\[
C(10, 10) = \frac{{10!}}{{10! \cdot (10-10)!}}
\]

Теперь давайте вычислим значения каждого биномиального коэффициента:

\[
C(10, 1) = \frac{{10!}}{{1! \cdot (10-1)!}} = \frac{{10!}}{{1! \cdot 9!}} = \frac{{10}}{{1}} = 10
\]
\[
C(10, 2) = \frac{{10!}}{{2! \cdot (10-2)!}} = \frac{{10!}}{{2! \cdot 8!}} = \frac{{10 \cdot 9}}{{2 \cdot 1}} = 45
\]
\[
C(10, 3) = \frac{{10!}}{{3! \cdot (10-3)!}} = \frac{{10!}}{{3! \cdot 7!}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 120
\]
...
\[
C(10, 10) = \frac{{10!}}{{10! \cdot (10-10)!}} = \frac{{10!}}{{10! \cdot 0!}} = \frac{{10!}}{{10!}} = 1
\]

Таким образом, мы получаем следующие значения для каждого количества выбранных юношей:

\(C(10, 1) = 10\) - есть 10 способов выбрать 1 юношу из 10.
\(C(10, 2) = 45\) - есть 45 способов выбрать 2 юношей из 10.
\(C(10, 3) = 120\) - есть 120 способов выбрать 3 юношей из 10.
...
\(C(10, 10) = 1\) - есть 1 способ выбрать 10 юношей из 10 (выбрать всех).

Таким образом, в турнире в шахматном кружке можно выбрать разное количество юношей: от 1 до 10. Количество способов выбора каждого количества юношей приведено выше.