Какое количество пылесосов в день должен производить завод, чтобы достичь наибольшей прибыли? Какова будет максимальная

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать концепцию производственной функции и функции прибыли, а также математические методы оптимизации. Давайте рассмотрим каждый из этих аспектов по порядку.

1. Производственная функция:
Производственная функция описывает связь между количеством использованных ресурсов и выпуском продукта. Обозначим производственную функцию как \(P(Q)\), где \(Q\) - количество пылесосов, произведенных заводом за день, а \(P\) - выпуск продукции (в данном случае, прибыль).

2. Функция прибыли:
Функция прибыли определяется как разница между выручкой и затратами. Выручка зависит от выпуска продукции и цены продажи, а затраты включают затраты на производство и материалы. Пусть цена продажи одного пылесоса составляет \(S\) рублей, а затраты на производство одного пылесоса - \(C\) рублей.

Тогда функция прибыли будет выглядеть следующим образом:
\[P(Q) = S \cdot Q - C \cdot Q\]

3. Максимизация прибыли:
Чтобы найти количество пылесосов, при котором прибыль будет максимальной, нам нужно найти точку экстремума функции прибыли. Для этого возьмем производную функции прибыли и приравняем ее к нулю:
\(\frac{{dP}}{{dQ}} = S - C = 0\)

Из этого условия мы получаем, что оптимальное количество пылесосов для максимальной прибыли будет:
\[Q_{opt} = \frac{{S}}{{C}}\]

4. Максимальная прибыль:
Для нахождения максимальной прибыли мы можем подставить оптимальное количество пылесосов \(Q_{opt}\) в функцию прибыли \(P(Q)\):
\[P_{max} = P(Q_{opt})\]

Теперь, для решения конкретной задачи, нам нужно знать значения цены продажи \(S\) и затрат на производство \(C\) одного пылесоса. При предоставлении этих значений, я смогу дать конкретный ответ и пояснить все шаги решения более подробно.