Сколько возможных вариантов окраски существует для прямого забора, состоящего из 7 досок, если каждые три соседние

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать принципы комбинаторики. У нас есть 5 возможных цветов для каждой доски, и каждые три соседние доски должны быть покрашены в разные цвета.

Поскольку у нас 7 досок, мы можем рассмотреть несколько случаев, исходя из того, сколько досок будут иметь один и тот же цвет.

1. Все 7 досок разного цвета:
В этом случае, у нас есть 5 возможных цветов для первой доски, 4 цвета для второй доски, 3 цвета для третьей доски и так далее. Таким образом, общее количество вариантов в этом случае будет равно:
\[5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\]

2. 6 досок разных цветов и одна доска повторяется:
В этом случае, первым делом мы должны выбрать цвет для повторяющейся доски. Есть 5 способов выбрать цвет. Затем, для каждой из оставшихся 6 досок, у нас есть 4 возможных цвета. Таким образом, общее количество вариантов равно:
\[5 \times 4^6 = 5120\]

3. 5 досок разных цветов и две доски повторяются:
В этом случае, нам сначала нужно выбрать два цвета для повторяющихся досок. Есть 5 способов выбрать первый цвет и 4 способа выбрать второй цвет. Затем, для каждой из оставшихся 5 досок, у нас есть 3 возможных цвета. Общее количество вариантов будет равно:
\[5 \times 4 \times 3^5 = 1080\]

4. 4 доски разных цветов и три доски повторяются:
Подобным образом, мы сначала выбираем 4 цвета для разных досок (5 способов выбора). Затем выбираем цвета для каждой из трех повторяющихся досок (4 способа выбора каждый). Для оставшихся досок у нас будет только один возможный цвет. Таким образом, общее количество вариантов будет равно:
\[5 \times 4 \times 4 \times 4 = 320\]

Теперь, чтобы получить общее количество возможных вариантов окраски прямого забора, мы складываем результаты для каждого из четырех случаев:
\[120 + 5120 + 1080 + 320 = 6640\]

Таким образом, существует 6640 различных вариантов окраски прямого забора, состоящего из 7 досок, если каждые три соседние доски должны быть покрашены в разные цвета из пяти возможных.