Сколько вершин у выпуклого многоугольника, если число его диагоналей в 7 раз превышает число его сторон?

Давайте решим данную задачу.

Предположим, у нашего выпуклого многоугольника \(n\) сторон. Тогда мы можем определить, сколько у него диагоналей.

Внимательно посмотрим на многоугольник и попробуем построить несколько диагоналей. Очевидно, что из каждой вершины мы можем провести диагональ в каждую другую вершину, кроме соседней. То есть каждая вершина соединена с каждой невыбранной вершиной, за исключением двух соседних.

Чтобы найти общее число диагоналей, мы можем провести \(n\) диагоналей из первой вершины, \(n-3\) из второй вершины, \(n-4\) из третьей и так далее, пока не достигнем последней вершины. При этом последняя вершина будет иметь \(n-2\) диагоналей.

Теперь мы можем записать данное условие задачи. У нашего многоугольника число диагоналей в 7 раз превышает число его сторон:

\[n + (n-3) + (n-4) + \ldots + (n-2) = 7n\]

Давайте решим это уравнение:

\[n + n - 3 + n - 4 + \ldots + n - 2 = 7n\]

\[n(n-2) - (1 + 2 + 3 + \ldots + (n-3)) = 7n\]

Используя формулу суммы арифметической прогрессии, мы можем записать:

\[n(n-2) - \frac{(n-3)(n-2)}{2} = 7n\]

После упрощения этого уравнения, у нас получается квадратное уравнение:

\[n^2 - 4n + 3n - 6 - \frac{(n^2 - 5n + 6)}{2} = 7n\]

\[n^2 - n - 6 - \frac{n^2 - 5n + 6}{2} = 7n\]

\[2n^2 - 2n - 12 - (n^2 - 5n + 6) = 14n\]

\[2n^2 - n^2 - 2n + 5n - 12 - 6 = 14n\]

\[n^2 + 3n - 18 = 0\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью факторизации или квадратного корня:

\[(n + 6)(n - 3) = 0\]

Отсюда мы видим, что \(n = -6\) или \(n = 3\). Очевидно, что число сторон не может быть отрицательным, поэтому наш многоугольник имеет 3 стороны.

Значит, у выпуклого многоугольника с 3 сторонами имеется \(n = 3\) вершины.

Ответ: у этого многоугольника 3 вершины.