Какие из следующих равенств верны для прямоугольного треугольника mnk с прямым углом?

Для того чтобы определить, какие из предложенных равенств верны для прямоугольного треугольника \(mnk\) с прямым углом, давайте вспомним некоторые особенности прямоугольных треугольников.

1. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

2. Отношение катетов и гипотенузы: В прямоугольном треугольнике соотношение длин катетов к длине гипотенузы можно выразить с помощью тригонометрических функций.

3. Взаимопростые катеты: Если в прямоугольном треугольнике катеты являются взаимопростыми (не имеют общих делителей, кроме 1), то гипотенуза - их наименьшее общее кратное (НОК).

Теперь давайте проверим каждое из предложенных равенств:

1. Предложение: \(m^2 + n^2 = k^2\)

Данное равенство является формулой теоремы Пифагора, где \(k\) - гипотенуза, а \(m\) и \(n\) - катеты. Таким образом, это верное равенство для прямоугольного треугольника \(mnk\).

2. Предложение: \(\sin(m) = \cos(n)\)

Данное равенство выражает отношение катетов к гипотенузе по теореме синусов и косинусов. Однако, такое отношение не обязательно равно в прямоугольном треугольнике, поэтому данное утверждение неверно для \(mnk\).

3. Предложение: \(m+n = k\)

Данное равенство утверждает, что сумма длин катетов равна длине гипотенузы. Но по теореме Пифагора мы знаем, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, а не их линейным суммам. Поэтому данное утверждение неверно для прямоугольного треугольника \(mnk\).

Итак, из предложенных равенств только первое равенство \(m^2 + n^2 = k^2\) является верным для прямоугольного треугольника \(mnk\), а остальные два равенства неверны.