Сколько вариантов выбора стульев для гостей возможно, если в комнате находится 10 стульев и пришло 7 гостей?

Чтобы определить количество вариантов выбора стульев для гостей, мы можем использовать комбинаторику и применить формулу для сочетаний без повторений. Формула для сочетаний без повторений гласит:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

Где:
- \(C(n, k)\) обозначает количество сочетаний из \(n\) элементов по \(k\) элементов;
- \(n!\) означает факториал числа \(n\), то есть произведение всех целых чисел от 1 до \(n\);
- \(k!\) означает факториал числа \(k\);
- \((n-k)!\) означает факториал числа \(n-k\).

В данной задаче у нас имеется 10 стульев и 7 гостей. Мы хотим определить, сколько вариантов выбора стульев возможно для гостей. То есть, нам нужно выбрать 7 стульев из 10. Поэтому нам нужно вычислить значение \(C(10, 7)\). Подставляя значения в формулу, получим:

\[C(10, 7) = \frac{{10!}}{{7! \cdot (10-7)!}} = \frac{{10!}}{{7! \cdot 3!}}\]

Так как вычислять факториалы может быть трудоемкой задачей, воспользуемся свойством факториала, которое гласит:

\[n! = n \cdot (n-1)!\]

Применяя это свойство, можно вычислить факториалы чисел 10, 7 и 3:

\[10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]

\[7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]

\[3! = 3 \cdot 2 \cdot 1\]

Подставляя вычисленные значения в формулу, получим:

\[C(10, 7) = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{(7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)}}\]

Вычисляя числитель и знаменатель отдельно, получим:

Числитель: \(10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 10!\)

Знаменатель: \((7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1) = 7! \cdot 3!\)

Теперь вычислим числитель и знаменатель:

Числитель: \(10!\) равен \(10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3,628,800\)

Знаменатель: \(7! \cdot 3!\) равен \(7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 30,240\)

Теперь разделим числитель на знаменатель:

\[\frac{{10!}}{{7! \cdot 3!}} = \frac{{3,628,800}}{{30,240}}\]

Выполняя деление, получим:

\[\frac{{3,628,800}}{{30,240}} = 120\]

Таким образом, возможно 120 вариантов выбора стульев для 7 гостей из 10 имеющихся.