Сколько существует семизначных чисел, состоящих только из цифр 0, 1, 6, 3, 5, 7 и 9, которые не повторяются

Давайте решим задачу по количеству семизначных чисел, состоящих только из цифр 0, 1, 6, 3, 5, 7 и 9, при условии, что эти числа не повторяются и не делятся на 2, 3 или 5.

Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать комбинаторику и счет.

Семизначное число состоит из семи различных цифр, поэтому нам нужно выбрать 7 цифр из множества {0, 1, 6, 3, 5, 7, 9}, где цифры не повторяются. Это соответствует задаче выбора без повторений из множества. Формула для выбора без повторений из множества имеет вид:

\[C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Где \(C(n, k)\) обозначает число сочетаний из n элементов по k элементов.

В нашем случае, n = 7 (так как у нас 7 различных цифр) и k = 7 (так как мы выбираем все 7 цифр).

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[C(7, 7) = \frac{7!}{7!(7-7)!}\]

Раскрывая факториалы в числителе и знаменателе, получаем:

\[C(7, 7) = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 0!}\]

Факториал 0 равен 1, поэтому можно сократить:

\[C(7, 7) = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\]

Упрощая выражение, получаем:

\[C(7, 7) = 1\]

Таким образом, существует только 1 семизначное число, состоящее только из цифр 0, 1, 6, 3, 5, 7 и 9, которое не повторяется и не делится на 2, 3 или 5.

Надеюсь, этот развернутый ответ помог вам понять решение задачи.