Сколько существует разных путей, по которым таракан может проползти вдоль линий клетчатой бумаги, начав и закончив свой

Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся методом динамического программирования. Для начала, чтобы посчитать количество путей длиной 1 клетку, нам необходимо знать, сколько путей из каждого узла можно проложить. Обозначим эту информацию в виде таблицы.

Пусть каждая клетка в нашем поле будет содержать количество путей от начальной точки до данной клетки. Начнем с заполнения базовых случаев.

При длине пути 1 клетку у нас будет только один путь из каждой клетки, так как мы можем переместиться только в соседнюю клетку.

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
1 & 1 & 1 & 1 & ... \\
\hline
1 & * & * & * & ... \\
\hline
1 & * & * & * & ... \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь давайте заполним остальные клетки таблицы. Для этого мы будем использовать следующее рекуррентное соотношение: количество путей до клетки (i, j) равно сумме количества путей до клеток (i-1, j) и (i, j-1), так как мы можем перемещаться только вправо или вниз.

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
1 & 1 & 1 & 1 & ... \\
\hline
1 & * & * & * & ... \\
\hline
1 & * & * & * & ... \\
\hline
\end{array}
\]

Таким образом, чтобы получить ответ на задачу, мы должны заполнить всю таблицу для пути длиной 20 клеток. В итоге, значение в последней клетке таблицы будет являться количеством путей, которыми таракан может проползти от начальной до конечной точки длиной 20 клеток.

Итак, с использованием этой методики, мы можем легко решить задачу и получить точный ответ на поставленный вопрос.