Сколько существует различных девятизначных чисел, делящихся на 11 и содержащих все десятичные цифры от 0 до 9 в своей

Для решения данной задачи нам потребуется известная формула для определения количества перестановок множества из \(n\) элементов, где некоторые элементы могут повторяться. Формула имеет вид:

\[P(n; n_1, n_2, ..., n_k) = \frac{{n!}}{{n_1! \cdot n_2! \cdot ... \cdot n_k!}}\]

где \(n\) - общее количество элементов, а \(n_1, n_2, ..., n_k\) - количество повторяющихся элементов.

В данной задаче нам требуется определить количество различных девятизначных чисел, делящихся на 11 и содержащих все десятичные цифры от 0 до 9 в своей записи.

Сначала определим, какие десятичные цифры могут находиться на нечетных и на четных позициях числа.

Число, делящееся на 11, должно иметь равную сумму цифр на четных позициях минус равную сумму цифр на нечетных позициях или наоборот. Таким образом, возможны два случая:

1. Сумма цифр на четных позициях больше суммы цифр на нечетных позициях на 11.
2. Сумма цифр на нечетных позициях больше суммы цифр на четных позициях на 11.

Рассмотрим каждый случай по отдельности.

Случай 1: Сумма цифр на четных позициях больше суммы цифр на нечетных позициях на 11.

Поскольку девятизначное число делящееся на 11 имеет 5 цифр на четных позициях и 4 цифры на нечетных позициях, сумма цифр на четных позициях должна быть равна сумме цифр на нечетных позициях плюс 11, или

\[n_1 + n_3 + n_5 + n_7 + n_9 = n_2 + n_4 + n_6 + n_8 + 11\]

где \(n_1, n_2, ..., n_9\) - цифры от 0 до 9.

Поскольку в данном случае цифры на четных и на нечетных позициях не могут повторяться, мы можем выбрать 5 цифр из пула \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) для четных позиций и 4 оставшиеся цифры для нечетных позиций.

Количество способов выбрать 5 цифр из пула из 10 равно \(C(10, 5)\), где \(C(n, k)\) - количество сочетаний.

\[C(10,5) = \frac{10!}{5! \cdot (10-5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252\]

В то же время, количество способов выбрать 4 цифры из пула из 5 равно \(C(5,4)\):

\[C(5,4) = \frac{5!}{4! \cdot (5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5}{1} = 5\]

Таким образом, общее количество девятизначных чисел, удовлетворяющих данному случаю, равно: \(252 \cdot 5 = 1260\).

Случай 2: Сумма цифр на нечетных позициях больше суммы цифр на четных позициях на 11.

В этом случае рассуждения аналогичны предыдущему случаю.

После аналогичных расчетов мы получаем, что общее количество девятизначных чисел, удовлетворяющих данным условиям, также равно 1260.

Теперь нам нужно сложить результаты из обоих случаев, так как мы рассмотрели два независимых случая.

\[1260 + 1260 = 2520\]

Таким образом, существует 2520 различных девятизначных чисел, делящихся на 11 и содержащих все десятичные цифры от 0 до 9 в своей записи.