Сколько студентов было размещено в каждой из аудиторий и какое общее количество аудиторий было предоставлено

Хорошо, давайте посмотрим на данную задачу.

Пусть \(x\) - количество аудиторий, а \(y\) - среднее количество студентов, размещенных в каждой аудитории. Тогда мы можем сформулировать два уравнения, основываясь на условии задачи.

Условие 1: "Суммарное количество студентов, размещенных в аудиториях, равно 1500." Мы можем записать это уравнение так:
\[xy = 1500 \quad (1)\]

Условие 2: "Если каждую аудиторию заполнять на 10 студентов больше, чем предыдущую, то все аудитории будут заполены полностью." Это означает, что первая аудитория содержит \(y\) студентов, вторая аудитория содержит \(y+10\) студентов, третья аудитория содержит \(y+20\) студентов и так далее. Таким образом, общее количество студентов в \(x\) аудиториях можно выразить следующим образом:
\[y + (y+10) + (y+20) + \ldots + (y+10(x-1)) = xy + 10(1+2+\ldots+(x-1))\]

Здесь, \(1+2+\ldots+(x-1)\) - сумма первых \(x-1\) натуральных чисел или сумма арифметической прогрессии. Формула для суммы первых \(n\) натуральных чисел выглядит так:
\[1+2+\ldots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}\]

Подставляя данную формулу в уравнение условия 2, получим:
\[xy + 10 \cdot \dfrac{(x-1)x}{2} = 1500 \quad (2)\]

Теперь у нас есть два уравнения: (1) и (2). Мы можем решить эту систему уравнений для определения значений \(x\) и \(y\).

Перепишем формулу (2) в более удобном виде:
\[x^2 - x + 2xy - 300 = 0\]
\[x^2 + (2y-1)x - 300 = 0\]

Решая это квадратное уравнение относительно \(x\), мы получим два корня:
\[x_1 = \dfrac{-2y+1 + \sqrt{4y^2 - 4(1)(-300)}}{2} = \dfrac{-2y+1 + \sqrt{4y^2 + 1200}}{2}\]

\[x_2 = \dfrac{-2y+1 - \sqrt{4y^2 - 4(1)(-300)}}{2} = \dfrac{-2y+1 - \sqrt{4y^2 + 1200}}{2}\]

Так как количество аудиторий не может быть отрицательным, мы можем отбросить решение, где \(x\) отрицательное. Исходя из этого, мы можем установить условие, что \(x_1\) и \(x_2\) должны быть больше или равны нулю:
\[\dfrac{-2y+1 + \sqrt{4y^2 + 1200}}{2} \geq 0 \quad \text{и} \quad \dfrac{-2y+1 - \sqrt{4y^2 + 1200}}{2} \geq 0\]

Это означает, что выражение под корнем в обоих случаях должно быть больше или равно нулю:
\[4y^2 + 1200 \geq 0\]

Рассмотрим это неравенство. Мы видим, что коэффициент при \(y^2\) положительный, поэтому это неравенство выполнено для всех значений \(y\). Таким образом, ограничения на \(y\) нет.

Возвращаясь к уравнению (1), мы можем решить его относительно \(y\):
\[xy = 1500 \quad \Rightarrow \quad y = \dfrac{1500}{x}\]

Теперь мы можем найти значения \(x\) и \(y\).