Сколько способов существует для формирования команды из 4 участников математической олимпиады из группы 12 студентов

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Сколько способов можно собрать команду из 4 участников математической олимпиады, если группа состоит из 12 студентов первого курса, у которых оценки по математике составляют "4-5"?

Решение:

Для решения этой задачи мы будем использовать комбинаторику и формулу сочетания.

Сочетание - это способ выбрать k объектов из всего множества, где порядок не имеет значения.

Обозначим количество способов выбрать команду из 4 участников из группы 12 студентов как C.

Тогда C можно выразить следующей формулой:

\[ C = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где n - количество объектов в множестве, а k - количество объектов, которые мы выбираем.

В нашем случае, n = 12 (общее количество студентов) и k = 4 (количество участников в команде).

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[ C = \binom{12}{4} = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} \]

Теперь вычислим значение этого выражения:

\[ C = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{4!8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \]

Вычисляя значение этой дроби, получаем:

\[ C = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2} = \frac{990}{6} = 165 \]

Итак, количество способов собрать команду из 4 участников из группы 12 студентов, у которых оценки по математике составляют "4-5", равно 165.

Таким образом, есть 165 различных команд, которые можно составить.