Сколько способов может выбрать Валерий три конфеты и два мандарина, если на тарелке имеется 22 конфеты и 8 мандаринов?

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать комбинаторику. Для начала посчитаем количество способов выбрать три конфеты из 22 имеющихся на тарелке. Для этого мы можем воспользоваться формулой сочетаний без повторений:

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\),

где \(n\) - общее количество объектов (в данном случае конфеты), а \(k\) - количество объектов, которые мы выбираем (в данном случае три конфеты).

Применяя эту формулу, мы получаем:

\(\binom{22}{3} = \frac{22!}{3!(22-3)!}\).

Теперь посчитаем количество способов выбрать два мандарина из восьми имеющихся на тарелке. Снова воспользуемся формулой сочетаний без повторений:

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\),

где \(n\) - общее количество объектов (в данном случае мандарины), а \(k\) - количество объектов, которые мы выбираем (в данном случае два мандарина).

Применяя эту формулу, мы получаем:

\(\binom{8}{2} = \frac{8!}{2!(8-2)!}\).

Теперь нам нужно найти общее количество способов выбрать три конфеты и два мандарина. Используя принцип умножения, мы можем умножить количество способов выбрать конфеты и мандарины:

\(\binom{22}{3} \times \binom{8}{2} = \frac{22!}{3!(22-3)!} \times \frac{8!}{2!(8-2)!}\).

Произведение этих двух комбинаторных чисел даст нам искомое количество способов выбрать три конфеты и два мандарина у Валерия. Теперь можно провести вычисления:

\(\binom{22}{3} \times \binom{8}{2} = \frac{22!}{3! \times 19!} \times \frac{8!}{2! \times 6!}\).

Сократив факториалы и произведения, мы получим выражение:

\(\binom{22}{3} \times \binom{8}{2} = \frac{22 \times 21 \times 20}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{8 \times 7}{2 \times 1}\).

Вычислив это выражение, мы получим окончательный ответ:

\(\binom{22}{3} \times \binom{8}{2} = 22 \times 21 \times 20 \times 8 \times 7\).

Посчитав это выражение, мы узнаем, сколько способов может выбрать Валерий три конфеты и два мандарина.