Сколько слагаемых в полученной сумме могут иметь отрицательный знак после раскрытия скобок и приведения подобных

Давайте посмотрим на выражение \((a+b+c+d)^2\) и рассмотрим несколько сценариев, когда переменным a, b, c и d поставлен знак "−".

1) Знак "−" перед одной переменной:
Если перед одной переменной поставлен знак "−", то это означает, что соответствующее слагаемое будет иметь отрицательный знак после раскрытия скобок. Так как у нас есть четыре переменные, то мы можем выбрать одну из них для знака "−", и это может быть a, b, c или d. Следовательно, мы можем получить четыре слагаемых с отрицательным знаком.

2) Знак "−" перед двумя переменными:
Если перед двумя переменными поставлен знак "−", то это означает, что два соответствующих слагаемых будут иметь отрицательный знак после раскрытия скобок. Здесь мы можем выбрать две переменные из четырех, чтобы поставить перед ними знаки "−". Количество комбинаций выбора двух переменных из четырех можно вычислить с помощью формулы сочетания. Для нашего случая, количество комбинаций будет равно \(\binom{4}{2}=6\). Следовательно, мы можем получить шесть слагаемых с отрицательным знаком.

3) Знак "−" перед тремя переменными:
Если перед тремя переменными поставлен знак "−", то это означает, что три соответствующих слагаемых будут иметь отрицательный знак после раскрытия скобок. Здесь мы можем выбрать три переменные из четырех, чтобы поставить перед ними знаки "−". Количество комбинаций выбора трех переменных из четырех можно также вычислить с помощью формулы сочетания. Для нашего случая, количество комбинаций будет равно \(\binom{4}{3}=4\). Следовательно, мы можем получить четыре слагаемых с отрицательным знаком.

4) Знак "−" перед всеми переменными:
Если перед всеми переменными поставлен знак "−", то это означает, что все четыре соответствующих слагаемых будут иметь отрицательный знак после раскрытия скобок. Здесь мы можем выбрать все переменные a, b, c и d и поставить перед ними знак "−". Следовательно, мы можем получить четыре слагаемых с отрицательным знаком.

Таким образом, после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых, в полученной сумме можно получить:
- 4 слагаемых с одним отрицательным знаком
- 6 слагаемых с двумя отрицательными знаками
- 4 слагаемых с тремя отрицательными знаками
- 4 слагаемых со всеми отрицательными знаками

Итого, в полученной сумме может быть 4+6+4+4 = 18 слагаемых с отрицательным знаком.