Сколько шестизначных чисел можно образовать из цифр 0 2 4 5 6 9, где все цифры различны, и которые кратны

Для решения данной задачи, нам необходимо определить, сколько шестизначных чисел можно образовать из заданных цифр 0, 2, 4, 5, 6, и 9, при условии, что все цифры различны, и числа кратным какому-либо из чисел {0, 2, 4, 5, 6, 9}. Для начала, давайте разберемся, какие числа являются кратными данным цифрам.

По определению, число \(a\) является кратным числу \(b\), если частное от деления \(a\) на \(b\) является целым числом. То есть, если \(a = b \cdot c\), где \(c\) — целое число.

Теперь найдем все кратные числа для каждой из заданных цифр:

1. Числа, кратные 0: Все шестизначные числа, в которых 0 находится на последней позиции, будут кратными 0. Например, 240506. Также обратите внимание, что если число заканчивается на 0, оно кратно 10, так как 10 = 0 * 10.

2. Числа, кратные 2: Если число кратно 2, это значит, что оно является четным числом. В нашем случае, возможным вариантам будут числа, в которых 2 находится на последней позиции. Другими словами, мы должны выбрать 5 цифр из оставшихся 5 (поскольку мы уже использовали цифру 2) и поставить их на свободные позиции шестизначного числа. Таким образом, мы можем выбрать 5 цифр из 0, 4, 5, 6, и 9 и переставить их на 5 свободных позиций. Количество способов выбрать 5 цифр из 5 без повторений равно \(C(5,5) = \frac{5!}{5! \cdot (5-5)!} = 1\).

3. Числа, кратные 4: Если число кратно 4, то оно должно быть кратно и 2. Поэтому все возможные числа, кратные 4, должны удовлетворять условию, что 4 находится на последней позиции. Оставшиеся 4 цифры можно выбрать из 0, 2, 5, и 6. Количество способов выбрать 4 цифры из 4 без повторений равно \(C(4,4) = \frac{4!}{4! \cdot (4-4)!} = 1\).

4. Числа, кратные 5: Если число кратно 5, это значит, что оно заканчивается на 5 или 0. В нашем случае, мы уже использовали цифру 0 в категории чисел, кратных 0. Поэтому, числа, кратные 5, должны заканчиваться на 5. Оставшиеся 4 цифры можно выбрать из чисел 0, 2, 4, и 6. Количество способов выбрать 4 из 4 без повторений равно \(C(4,4) = \frac{4!}{4! \cdot (4-4)!} = 1\).

5. Числа, кратные 6: Числа, кратные 6, должны быть кратны и 2, и 3. Так как мы уже учли все возможные числа, кратные 2, в предыдущем пункте, нам нужно определить, какие из оставшихся чисел являются также числами, кратными 3. Сумма всех заданных чисел равна 26, и эту сумму необходимо разделить на 3. Полученное значение равно 8 и оно не является целым числом. Значит, нет ни одного варианта шестизначных чисел, в которых все цифры различны и число будет кратным 6.

Итак, мы рассмотрели все категории чисел, и теперь можем посчитать общее количество шестизначных чисел, удовлетворяющих условиям задачи. Просуммируем количество чисел из каждой категории:
\[
1 + 1 + 1 + 1 + 0 = 4
\]

Таким образом, можно образовать 4 шестизначных числа из заданных цифр 0, 2, 4, 5, 6 и 9, таких что все цифры различны и числа кратны или 0, или 2, или 4, или 5.