Сколько рядов мест в каждом секторе цирка, если в первом ряду 10 мест, а каждый последующий ряд содержит на 4 места

Чтобы решить эту задачу, нужно использовать информацию о первом ряде и разнице в количестве мест между рядами. Мы знаем, что в первом ряду есть 10 мест, а каждый последующий ряд содержит на 4 места больше.

Пусть \(n\) - это количество рядов в секторе цирка. Тогда количество мест в каждом последующем ряду можно представить в виде арифметической прогрессии с первым членом \(a_1 = 10\) и разностью \(d = 4\).

Общий член арифметической прогрессии \(a_n\) может быть найден по формуле:
\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

Так как общее количество мест в секторе цирка равно 640, мы можем построить уравнение на основе суммы первых \(n\) членов прогрессии:
\[640 = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

Подставим значения \(a_1 = 10\) и \(a_n = a_1 + (n-1)d\) в это уравнение:
\[640 = \frac{n}{2}(10 + 10 + (n-1)4)\]

Упростим это уравнение:
\[640 = \frac{n}{2}(20 + 4n - 4)\]

Раскроем скобки:
\[640 = \frac{n}{2}(16 + 4n)\]

Упростим еще раз:
\[640 = 8n + 2n^2\]

Приведем уравнение к квадратному виду:
\[2n^2 + 8n - 640 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней:
\[n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В нашем случае \(a = 2\), \(b = 8\) и \(c = -640\). Подставим значения в формулу:
\[n = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-640)}}{2 \cdot 2}\]

Выполним вычисления:
\[n = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 5120}}{4}\]
\[n = \frac{-8 \pm \sqrt{5184}}{4}\]
\[n = \frac{-8 \pm 72}{4}\]

Теперь найдем два возможных значения для \(n\):
\[n_1 = \frac{-8 + 72}{4} = \frac{64}{4} = 16\]
\[n_2 = \frac{-8 - 72}{4} = \frac{-80}{4} = -20\]

Поскольку в данной задаче невозможно иметь отрицательное количество рядов, мы выбираем положительное значение \(n = 16\).

Таким образом, в каждом секторе цирка будет 16 рядов мест.