Сколько различных значений может принимать переменная n, чтобы результат выражения (16n^2-128)/ n^2 был также

Для того чтобы выражение \(\frac{{16n^2-128}}{{n^2}}\) было натуральным числом, числитель должен делиться на знаменатель без остатка. Давайте проанализируем это выражение более подробно.

Числитель равен \(16n^2-128\), а знаменатель равен \(n^2\). Разложим числитель на множители: \(16n^2-128=16(n^2-8)\). Заметим, что даже при различных значениях переменной \(n\), общий множитель 16 всегда будет делиться на знаменатель \(n^2\). Таким образом, нам остается рассмотреть только выражение \(n^2-8\).

Для того чтобы \(n^2-8\) было натуральным числом, мы должны найти значения переменной \(n\), при которых \(n^2-8\) делится без остатка на \(n^2\). Это возможно только в случаях, когда значение равно нулю.

Решим уравнение \(n^2-8=0\). Для этого перенесем -8 на другую сторону уравнения, получим \(n^2=8\). Чтобы найти возможные значения переменной \(n\), возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения: \(n=\pm\sqrt{8}\).

Квадратный корень из 8 можно упростить: \(\sqrt{8}=\sqrt{2^2\cdot2}=2\sqrt{2}\). Таким образом, у нас есть два возможных значения для переменной \(n\): \(n=2\sqrt{2}\) и \(n=-2\sqrt{2}\).

Таким образом, ответ на задачу состоит из двух различных значений переменной \(n\), при которых результат выражения \(\frac{{16n^2-128}}{{n^2}}\) также будет натуральным числом: \(n=2\sqrt{2}\) и \(n=-2\sqrt{2}\).