Сколько различных треугольников можно сформировать, используя 17 точек на прямой и 5 точек на параллельной ей прямой?

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать комбинаторику и знание свойств треугольников. Давайте разберемся.

У нас есть 17 точек на прямой и 5 точек на параллельной ей прямой. Для создания треугольника нам необходимо выбрать 3 точки из всех доступных. Мы можем выбрать первую точку из 17-и, вторую точку из оставшихся 16-и, и третью точку из 15-и, так как все точки должны быть различными.

Однако, это ещё не все. Мы знаем, что точки на параллельных прямых не могут быть использованы вместе, чтобы создать треугольник. Это означает, что если мы выбираем точку на прямой, мы не можем выбирать точки на параллельной прямой, и наоборот.

Давайте рассмотрим два случая:

1. Выбрать треугольник, используя только точки на прямой:
Мы уже рассмотрели, что мы можем выбрать 3 точки из 17-и точек на прямой, поэтому это будет сочетание из 17-и по 3. Обозначим это как \(C(17, 3)\).

2. Выбрать треугольник, используя только точки на параллельной прямой:
Аналогично, мы можем выбрать 3 точки из 5-и точек на параллельной прямой, поэтому это будет сочетание из 5-и по 3. Обозначим это как \(C(5, 3)\).

Теперь мы можем просуммировать эти два случая, чтобы получить общее количество возможных треугольников:

\[
C(17, 3) + C(5, 3)
\]

Вычислим значения этих сочетаний:

\[
C(17, 3) = \frac{{17!}}{{3! \cdot (17-3)!}} = \frac{{17!}}{{3! \cdot 14!}} = \frac{{17 \cdot 16 \cdot 15}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 680
\]

\[
C(5, 3) = \frac{{5!}}{{3! \cdot (5-3)!}} = \frac{{5!}}{{3! \cdot 2!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3}}{{2 \cdot 1}} = 10
\]

Теперь сложим эти два значения:

\[
C(17, 3) + C(5, 3) = 680 + 10 = 690
\]

Итак, мы можем сформировать 690 различных треугольников, используя 17 точек на прямой и 5 точек на параллельной ей прямой.