Каков объем конуса, описанного около пирамиды в основании которой лежит равнобедренная трапеция с углом при основании

Для начала, нам необходимо определить геометрические свойства данной фигуры. У нас есть пирамида, в основании которой лежит равнобедренная трапеция. Трапеция имеет угол при основании в 60° и боковую сторону длиной 6. Одно из оснований трапеции проходит через центр окружности. Высота пирамиды равна 10.

Для решения этой задачи, мы можем разбить фигуру на две составляющие: пирамиду и конус, описанный вокруг пирамиды.

Рассмотрим пирамиду. У нас есть высота пирамиды, которая равна 10. Чтобы найти объём пирамиды, мы можем использовать формулу:

\[
V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h,
\]

где \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания пирамиды, а \(h\) - высота пирамиды.

Так как основание пирамиды является равнобедренной трапецией, то у нас есть три различных площади, которые нам нужно найти: площадь меньшего основания, площадь большего основания и площадь трапеции.

Площадь трапеции можно найти с помощью следующей формулы:

\[
S_{\text{трапеции}} = \frac{(a + b) \times h_{\text{трапеции}}}{2},
\]

где \(a\) и \(b\) - длины оснований трапеции, а \(h_{\text{трапеции}}\) - высота трапеции.

Мы знаем, что у нас есть равнобедренная трапеция со стороной длиной 6 и углом 60° при основании. Используя геометрические свойства равнобедренных трапеции, мы можем определить значения \(a\), \(b\) и \(h_{\text{трапеции}}\).

В равнобедренной трапеции, боковые стороны равны. Таким образом, у нас есть:

\(a = b = 6\).

Также, у нас есть угол при основании, равный 60°. Сумма углов в равнобедренной трапеции равна 360°, поэтому углы при вершине равны \(180° - 60° = 120°\). Угол при вершине равнобедренной трапеции равен углу между диагональю и боковой стороной равнобедренной трапеции. Это значит, что у нас есть прямоугольный треугольник, в котором углы равны 30°, 60° и 90°. Зная это, мы можем определить длину высоты трапеции:

\(h_{\text{трапеции}} = \frac{a}{2} \times \tan(30°)\).

Соединяя всё вместе, мы можем найти площадь трапеции и затем использовать её для нахождения площади основания пирамиды:

\(S_{\text{трапеции}} = \frac{(a + b) \times h_{\text{трапеции}}}{2}\),

\(S_{\text{основания}} = S_{\text{трапеции}} + \frac{a^2}{2}\).

Мы вычислили площадь основания пирамиды. Теперь мы можем найти объём пирамиды, используя формулу, которую я упомянул ранее:

\(V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h\).

Однако в задаче нужно найти объем конуса, описанного около нашей пирамиды. Чтобы это сделать, мы знаем, что радиус конуса равен радиусу описанной окружности основания пирамиды. Используя геометрические свойства равнобедренной трапеции, мы можем выразить радиус конуса через длину стороны трапеции:

\(r = \frac{a}{2} \times \sin(60°)\).

Используя найденное значение радиуса, мы можем вычислить объем конуса:

\(V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h\).

Вместе, наше окончательное решение будет выглядеть следующим образом:

Найдем площадь основания пирамиды:
\(S_{\text{трапеции}} = \frac{(6 + 6) \times \left( \frac{6}{2} \times \tan(30°) \right)}{2} = 18\),
\(S_{\text{основания}} = 18 + \frac{6^2}{2} = 27\).

Найдем объем пирамиды:
\(V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} \times 27 \times 10 = 90\).

Найдем радиус конуса:
\(r = \frac{6}{2} \times \sin(60°) = 3\sqrt{3}\).

Найдем объем конуса:
\(V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \times \pi \times (3\sqrt{3})^2 \times 10 = 90\pi\).

Итак, объем конуса, описанного около пирамиды, равен \(90\pi\).