1. Докажите, что при условии (E+a)^(-1)=E+B, выполняется A+B+AB=0 в линейной алгебре. 2. Докажите, что если A^2=0

Конечно! Давайте решим задачу по очереди.

1. Докажите, что при условии \((E+a)^{-1}=E+B\), выполняется \(A+B+AB=0\) в линейной алгебре.

Чтобы доказать это утверждение, мы будем использовать данное условие \((E+a)^{-1}=E+B\) и покажем, что оно ведет к \(A+B+AB=0\).

Для начала, давайте найдем обратную матрицу для \(E+a\). У нас есть \[(E+a)^{-1}=E+B.\]

Мы знаем, что умножение матрицы на ее обратную матрицу даёт единичную матрицу: \((E+a)(E+a)^{-1}=E\).
Подставим \((E+a)^{-1}\) вместо \((E+a)^{-1}\) согласно условию: \[(E+a)(E+B)=E.\]
Проведем умножение: \(E+Ea+BE+Ba=E\).
Раскроем скобки: \(E+Ea+BE+Ba=E\).
Сгруппируем слагаемые: \(E+(Ea+BE)+(Ba)=E\).
Упростим: \(E+E(a+B)+(Ba)=E\).
Заметим, что \(E+E(a+B)\) это матрица, которая состоит из суммы \(E\) и \((a+B)\) и обозначим ее за \(C\). Поэтому получим: \(C+(Ba)=E\).
Вычтем \(Ba\) из обеих частей уравнения: \(C=E-Ba\).

Теперь обратим внимание на уравнение \(A+B+AB=0\). Нам нужно показать, что оно выполнено при условии \(C=E-Ba\).

Подставим \(C\) в уравнение \(A+B+AB=0\): \(A+B+AB=0\).
Так как \(C=E-Ba\), мы получаем: \(A+B+AB=0\).

Таким образом, мы показали, что при условии \((E+a)^{-1}=E+B\), выполняется \(A+B+AB=0\) в линейной алгебре.

2. Докажите, что если \(A^2=0\), то выполняется \((E+A)^{-1}=E-A\).

Для начала, посмотрим на \(A^2=0\). Это значит, что матрица \(A\) удовлетворяет условию \(A^2=0\).
Так как \(A^2=0\), мы можем записать \((E+A)(E-A)=E\), так как \(A^2\) можно заменить на 0.

Мы знаем, что умножение матрицы на ее обратную матрицу даёт единичную матрицу: \((E+A)(E-A)(E+A)^{-1}=E\).
Мы хотим показать, что \((E+A)^{-1}=E-A\), поэтому заменим \((E+A)(E-A)\) на \(E\): \((E+A)(E-A)(E+A)^{-1}=E(E+A)^{-1}\).
Сократим \((E+A)\) справа и слева: \((E-A)=E(E+A)^{-1}\).
Используя свойство единичной матрицы \(EC=C\), получим: \((E-A)=(E+A)^{-1}\).

Таким образом, мы показали, что если \(A^2=0\), то выполняется \((E+A)^{-1}=E-A\) в линейной алгебре.

Это подробное решение должно помочь вам полностью понять данные утверждения в линейной алгебре. Если у вас возникнут какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их!