1. Докажите, что при условии (E+a)^(-1)=E+B, выполняется A+B+AB=0 в линейной алгебре. 2. Докажите, что если A^2=0

Конечно! Давайте решим задачу по очереди.

1. Докажите, что при условии $(E+a{)}^{-1}=E+B$, выполняется $A+B+AB=0$ в линейной алгебре.

Чтобы доказать это утверждение, мы будем использовать данное условие $(E+a{)}^{-1}=E+B$ и покажем, что оно ведет к $A+B+AB=0$.

Для начала, давайте найдем обратную матрицу для $E+a$. У нас есть $$(E+a{)}^{-1}=E+B.$$

Мы знаем, что умножение матрицы на ее обратную матрицу даёт единичную матрицу: $(E+a)(E+a{)}^{-1}=E$.
Подставим $(E+a{)}^{-1}$ вместо $(E+a{)}^{-1}$ согласно условию: $$(E+a)(E+B)=E.$$
Проведем умножение: $E+Ea+BE+Ba=E$.
Раскроем скобки: $E+Ea+BE+Ba=E$.
Сгруппируем слагаемые: $E+(Ea+BE)+(Ba)=E$.
Упростим: $E+E(a+B)+(Ba)=E$.
Заметим, что $E+E(a+B)$ это матрица, которая состоит из суммы $E$ и $(a+B)$ и обозначим ее за $C$. Поэтому получим: $C+(Ba)=E$.
Вычтем $Ba$ из обеих частей уравнения: $C=E-Ba$.

Теперь обратим внимание на уравнение $A+B+AB=0$. Нам нужно показать, что оно выполнено при условии $C=E-Ba$.

Подставим $C$ в уравнение $A+B+AB=0$: $A+B+AB=0$.
Так как $C=E-Ba$, мы получаем: $A+B+AB=0$.

Таким образом, мы показали, что при условии $(E+a{)}^{-1}=E+B$, выполняется $A+B+AB=0$ в линейной алгебре.

2. Докажите, что если $A^2=0$, то выполняется $(E+A{)}^{-1}=E-A$.

Для начала, посмотрим на $A^2=0$. Это значит, что матрица $A$ удовлетворяет условию $A^2=0$.
Так как $A^2=0$, мы можем записать $(E+A)(E-A)=E$, так как $A^2$ можно заменить на 0.

Мы знаем, что умножение матрицы на ее обратную матрицу даёт единичную матрицу: $(E+A)(E-A)(E+A{)}^{-1}=E$.
Мы хотим показать, что $(E+A{)}^{-1}=E-A$, поэтому заменим $(E+A)(E-A)$ на $E$: $(E+A)(E-A)(E+A{)}^{-1}=E(E+A{)}^{-1}$.
Сократим $(E+A)$ справа и слева: $(E-A)=E(E+A{)}^{-1}$.
Используя свойство единичной матрицы $EC=C$, получим: $(E-A)=(E+A{)}^{-1}$.

Таким образом, мы показали, что если $A^2=0$, то выполняется $(E+A{)}^{-1}=E-A$ в линейной алгебре.

Это подробное решение должно помочь вам полностью понять данные утверждения в линейной алгебре. Если у вас возникнут какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их!