Сколько различных чисел могло быть записано на доске, если каждое число возводилось в квадрат или в куб?

Чтобы решить данную задачу, мы можем рассмотреть все числа от 1 до 1000 и проверить, сколько из них могут быть представлены в виде квадрата или куба другого числа. Давайте разобъем решение на несколько шагов:

Шаг 1: Подсчет квадратов
Для начала посмотрим, сколько чисел до 1000 могут быть представлены в виде квадрата другого числа. Чтобы получить квадрат числа $n$, мы домножаем число на само себя: $n^2$. Всего чисел в интервале от 1 до 1000:

$1^2,2^2,3^2,...,{31}^2=1,4,9,...,961$

Таким образом, существует 31 различных квадратных чисел.

Шаг 2: Подсчет кубов
Теперь рассмотрим, сколько чисел до 1000 могут быть представлены в виде куба другого числа. Чтобы получить куб числа $n$, мы домножаем число на само себя два раза: $n^3$. Всего чисел в интервале от 1 до 1000:

$1^3,2^3,3^3,...,{10}^3=1,8,27,...,1000$

Таким образом, существует 10 различных кубических чисел.

Шаг 3: Общее количество чисел
Теперь, чтобы найти общее количество различных чисел, которые могли быть записаны на доске, учитывая, что каждое число возводилось в квадрат или в куб, нужно объединить два списка чисел, убрать повторения и посчитать количество элементов. Давайте объединим списки и уберем повторения:

$1,4,9,...,961,8,27,...,1000$

Подсчет общего количества чисел, учитывая возможные повторения:

$31+10-X=Y$

Где:
- $X$ - количество чисел, которые являются и квадратами, и кубами,
- $Y$ - общее количество различных чисел.

Шаг 4: Поиск чисел, являющихся одновременно квадратами и кубами
Теперь давайте найдем числа, которые являются как квадратами, так и кубами. Взглянув на списки квадратных и кубических чисел, мы видим, что следующие числа присутствуют в обоих списках:

$1,64$

Таким образом, всего 2 числа являются одновременно квадратами и кубами.

Шаг 5: Подсчет общего количества различных чисел
Теперь, подставив числа в наше уравнение, мы можем определить общее количество различных чисел:

$31+10-2=Y$

Вычитаем 2, так как существуют только 2 числа, являющихся как квадратами, так и кубами.

Решив это уравнение, мы получаем:

$Y=39$

Таким образом, на доске может быть записано 39 различных чисел, если каждое число возводилось в квадрат или в куб.