Сколько раз нужно подбросить игральную кость, чтобы получить 13 разных результатов, не равных 6? Каково математическое

Чтобы решить данную задачу, мы должны провести серию экспериментов, подбрасывая игральную кость, чтобы найти количество подбрасываний, необходимых для получения 13 разных результатов, не равных 6.

Давайте представим каждый бросок как испытание с множеством исходов, где каждый исход - это число, выпавшее на кости. В данной задаче у нас есть 6 возможных результатов: 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

Нам нужно получить 13 разных результатов, не равных 6. Вариантов результатов "не равных 6" составляет 5 (1, 2, 3, 4 и 5). Нам также известно, что результаты должны быть разными, поэтому мы не можем считать повторяющиеся результаты.

Для подсчета количества бросков, необходимых для получения 13 различных результатов, не равных 6, мы будем использовать "Принцип ящика с перьями" или "Принцип Дирихле". Этот принцип утверждает, что если n + 1 объектов распределяются по n ящикам, то как минимум в одном ящике будет находиться два объекта.

В нашем случае, количество результатов (ящиков) равно 13, плюс один дополнительный результат, который является "шестью". При условии, что мы должны получить 13 разных результатов, не равных 6, наименьшее количество бросков k, которое потребуется, будет равно n + 1, где n - количество результатов, не равных 6.

Таким образом, наше число подбрасываний k будет равно 13 + 1 = 14.

Теперь, чтобы найти математическое ожидание числа подбрасываний, нам нужно найти среднее количество бросков, которое требуется, чтобы получить 13 разных результатов, не равных 6. Вероятность получить конкретный результат (не равный 6) в одном подбрасывании составляет 5/6.

Математическое ожидание (E) числа подбрасываний можно найти, умножив количество подбрасываний (14) на вероятность подбрасывания разных результатов в одном броске (5/6):

\[E = 14 \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{35}{3}\]

Теперь рассмотрим среднее квадратическое отклонение числа подбрасываний. Это значение показывает насколько данные отклоняются от среднего значения. Для нахождения среднего квадратического отклонения, будем использовать формулу:

\[\sigma = \sqrt{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{{(x_i - \bar{x})^2}}{{n}}}}\]

Где \(\sigma\) - среднее квадратическое отклонение, \(x_i\) - количество подбрасываний на i-ом испытании, \(\bar{x}\) - среднее количество подбрасываний.

В данной задаче все испытания имеют одинаковое количество подбрасываний, поэтому среднее количество подбрасываний на каждом испытании равно 14.

\[\sigma = \sqrt{{\dfrac{{(14 - 14)^2 + (14 - 14)^2 + \dots + (14 - 14)^2}}{{13}}}} = 0\]

Таким образом, среднее квадратическое отклонение равно 0, что означает, что все значения одинаковы и отклонений нет.

Наконец, чтобы найти вероятность выпадения "шестерки", нам нужно знать, сколько всего возможных результатов есть и сколько из них равны шести. У нас есть 6 различных результатов на кости и только один из них равен шести. Таким образом, вероятность выпадения "шестерки" будет равна 1/6.