Каковы длины третьей стороны и других углов этого треугольника, если две из его сторон равны 8 см и корень 72

Для решения этой задачи, нам понадобятся знания о теореме косинусов, которая гласит:

В любом треугольнике длина третьей стороны может быть найдена с использованием формулы:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos C}\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - это длины сторон треугольника, а \(C\) - это угол, противолежащий стороне \(c\).

Теперь давайте применим эту формулу к данной задаче.

У нас есть две известные стороны треугольника: одна равна 8 см, а другая - \(\sqrt{72}\) см. Известно также, что угол, противолежащий большей стороне, равен 45 градусов.

Обозначим эти стороны как \(a = 8\) см и \(b = \sqrt{72}\) см, а угол, противолежащий стороне \(c\), как \(C = 45^\circ\).

Теперь мы можем использовать формулу косинусов, чтобы найти длину третьей стороны \(c\):

\[c = \sqrt{8^2 + (\sqrt{72})^2 - 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{72} \cdot \cos 45^\circ}\]

Вычислив это выражение, получим:

\[c = \sqrt{64 + 72 - 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{72} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}\]

\[c = \sqrt{136 - 8 \cdot \sqrt{144}}\]

\[c = \sqrt{136 - 8 \cdot 12}\]

\[c = \sqrt{136 - 96}\]

\[c = \sqrt{40}\]

\[c = 2 \cdot \sqrt{10}\]

Таким образом, третья сторона треугольника равна \(2 \cdot \sqrt{10}\) см.

Теперь найдем оставшиеся углы треугольника:

Для этого воспользуемся теоремой синусов, которая гласит:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

где \(A\), \(B\), и \(C\) - это углы треугольника, а \(a\), \(b\), и \(c\) - соответствующие стороны.

Мы знаем, что сторона \(a\) равна 8 см, а сторона \(c\) равна \(2 \cdot \sqrt{10}\) см. Угол \(C\) равен 45 градусов, и угол \(A\) противолежит стороне \(a\). Поскольку угол \(C\) известен, мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти угол \(A\).

\[\frac{8}{\sin A} = \frac{2 \cdot \sqrt{10}}{\sin 45^\circ}\]

Раскроем здесь значение синуса 45 градусов: \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\[\frac{8}{\sin A} = \frac{2 \cdot \sqrt{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\]

\[\frac{8}{\sin A} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{10}\]

\[\frac{8}{\sin A} = 4 \cdot \sqrt{10}\]

Теперь найдем угол \(A\):

\[\sin A = \frac{8}{4 \cdot \sqrt{10}}\]

\[\sin A = \frac{2}{\sqrt{10}}\]

\[A = \arcsin\left(\frac{2}{\sqrt{10}}\right)\]

Округлим этот угол до двух знаков после запятой:

\[A \approx 27.81^\circ\]

Таким образом, сторона \(c\) равна \(2 \cdot \sqrt{10}\) см, угол \(A\) примерно равен 27.81 градусов. Оставшийся угол треугольника (\(B\)) можно вычислить, зная, что сумма углов треугольника равна 180 градусов:

\[B = 180^\circ - A - C\]

\[B = 180^\circ - 27.81^\circ - 45^\circ\]

\[B \approx 107.19^\circ\]

Таким образом, третья сторона треугольника составляет \(2 \cdot \sqrt{10}\) см, а углы треугольника равны примерно 27.81 градусов, 45 градусов и 107.19 градусов.