Сколько раз нужно двигать поршень, чтобы давление воздуха в сосуде не превышало 380 мм.рт.ст, если после каждого

Для решения данной задачи, нам необходимо определить, сколько раз нужно двигать поршень, чтобы давление воздуха в сосуде не превышало 380 мм рт. ст.

Итак, начальное давление воздуха в сосуде составляет 760 мм рт. ст. После каждого движения поршня из сосуда удаляется 10% воздуха.

Давление воздуха пропорционально его объему, и мы можем использовать закон Бойля-Мариотта, который гласит: \(P_1 \cdot V_1 = P_2 \cdot V_2\), где \(P_1\) и \(V_1\) - начальное давление и объем воздуха в сосуде, а \(P_2\) и \(V_2\) - давление и объем после движения поршня.

Давайте представим, что поршень двигается \(n\) раз, и после каждого движения объем воздуха уменьшается на 10%. Тогда объем воздуха после всех движений поршня будет равен:

\[V_2 = V_1 \cdot (1 - 0.1)^n\]

Мы знаем, что конечное давление воздуха не должно превышать 380 мм рт. ст. То есть, \(P_2 \leq 380\). Подставляя значения в уравнение Бойля-Мариотта, получаем:

\[P_2 = \frac{{P_1 \cdot V_1}}{{V_2}} = \frac{{760}}{{V_1 \cdot (1 - 0.1)^n}} \leq 380\]

Теперь, мы можем провести вычисления, чтобы найти значение \(n\):

\[\frac{{760}}{{V_1 \cdot (1 - 0.1)^n}} \leq 380\]

Домножим обе части уравнения на \(V_1 \cdot (1 - 0.1)^n\):

\[760 \leq 380 \cdot V_1 \cdot (1 - 0.1)^n\]

Разделим обе части уравнения на 380:

\[2 \leq V_1 \cdot (1 - 0.1)^n\]

Теперь возьмем логарифм по основанию 0.9 от обеих частей уравнения:

\[\log_{0.9} 2 \leq \log_{0.9} (V_1 \cdot (1 - 0.1)^n)\]

Используя свойства логарифмов и упрощая уравнение, получаем:

\[\log_{0.9} 2 \leq \log_{0.9} V_1 + n\]

Таким образом, нам нужно найти значение \(n\) такое, чтобы левая часть уравнения была меньше или равна правой части. Подставляя значения, получаем:

\[\log_{0.9} 2 \leq \log_{0.9} 760 + n\]

Используя калькулятор, получаем:

\[\log_{0.9} 760 + n \approx 6.9069\]

\(n \approx 6.9069 - \log_{0.9} 760\)

\[n \approx 6.9069 - 3.3100\]

\[n \approx 3.5969\]

Поскольку \(n\) должно быть целым числом, получаем, что количество движений поршня, чтобы давление воздуха в сосуде не превышало 380 мм рт. ст., равно 4.

Итак, поршень должен быть двиган 4 раза.