Сколько равнобедренных прямоугольных треугольников можно сформировать, если использовать отмеченные точки одного цвета

Чтобы решить эту задачу, нужно разобраться с определением равнобедренного прямоугольного треугольника. Этот тип треугольника имеет две равные стороны, называемые катетами, и одну сторону, называемую гипотенузой. Гипотенуза всегда является самой длинной стороной.

У нас есть набор отмеченных точек одного цвета, и нам нужно выбрать из них вершины треугольника. Для равнобедренного прямоугольного треугольника нам понадобятся две равные стороны, и гипотенуза, соединяющая эти стороны.

Рассмотрим каждую равнобедренную сторону, возможные комбинации выбора точек для этой стороны и число вариантов для гипотенузы.

1. Выбираем первую вершину (назовем ее А). Для выбора второй вершины (назовем ее В) нам нужно выбрать одну из оставшихся точек. Пусть у нас будет $n$ точек, тогда для выбора В остается $(n-1)$ вариантов.

2. Теперь у нас есть две вершины А и В. Для выбора третьей вершины С нам нужно выбрать одну из оставшихся точек. Осталось $(n-2)$ варианта.

3. Теперь рассмотрим возможные гипотенузы. Для этого нужно провести линию от А до С или от В до С. Объединяя предыдущие шаги, мы знаем, что у нас есть $(n-2)$ варианта для точки С, и два варианта для гипотенузы (линия от А до С или от В до С).

Теперь мы можем перемножить все варианты для каждой стороны и гипотенузы, чтобы получить полное число возможных равнобедренных прямоугольных треугольников.

Количество треугольников = количество вариантов первой стороны $\times$ количество вариантов второй стороны $\times$ количество вариантов гипотенузы.

Общее количество треугольников = $(n-1)\times (n-2)\times 2$

Пожалуйста, обратите внимание, что данное решение основывается на предположении, что выбор точек не должен образовывать треугольникы с нулевой площадью или треугольники, которые не являются равнобедренными прямоугольными. Если это ограничение отсутствует, то количество возможных треугольников может быть больше.