Какие четыре различных натуральных числа, сумма которых равна 357, можно получить из четвертого числа путем

Давайте разберем эту задачу пошагово и попробуем найти все возможные варианты.

1. Разложим число 357 на сумму четырех натуральных чисел: \( a + b + c + d = 357 \).
2. Предположим, что число, которое мы будем зачеркивать, находится на позиции сотен. Тогда \( a = 100x + 10y + z \), где \( x \), \( y \) и \( z \) - цифры сотен, десятков и единиц соответственно.
3. Заметим, что в данной задаче для каждого варианта числа, которое мы будем зачеркивать, оставшиеся числа (включая число, которое мы зачеркнули) должны образовывать трехзначные числа, так как сумма натуральных чисел должна быть равна 357. Следовательно, \( b \), \( c \) и \( d \) также будут представлены аналогичным образом: \( b = 100m + 10n + p \), \( c = 100q + 10r + s \), \( d = 100u + 10v + w \), где \( m \), \( n \), \( p \), \( q \), \( r \), \( s \), \( u \), \( v \) и \( w \) - цифры сотен, десятков и единиц соответственно.
4. Теперь сложим все части и получим уравнение: \( (100x + 10y + z) + (100m + 10n + p) + (100q + 10r + s) + (100u + 10v + w) = 357 \).
5. Сократим коэффициенты и добавим все различные комбинации позиций, чтобы получить:

\[
\begin{align*}
&100(x+m+q+u) + 10(y+n+r+v) + (z+p+s+w) = 357 \\
&100(x+m+q+u) = 300 \\
&x + m + q + u = 3
\end{align*}
\]

Таким образом, мы получаем уравнение: \( x + m + q + u = 3 \), где \( x \), \( m \), \( q \) и \( u \) - цифры сотен.

6. Теперь рассмотрим все возможные комбинации цифр сотен, которые в сумме дают 3: (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 1) и (0, 1, 1, 1).

Выражение чисел через переменные, точнее запись: 100x + 10y + z = 357.

Давайте подставим эти комбинации в значения \( x \), \( m \), \( q \) и \( u \) и найдем остальные числа:

a) Для комбинации (1, 1, 1, 0):
\[
\begin{align*}
x = 1, m = 1, q = 1, u = 0 \\
a = 100x + 10y + z = 100(1) + 10(1) + 0 = 110 \\
b = 100m + 10n + p = 100(1) + 10(1) + 1 = 111 \\
c = 100q + 10r + s = 100(1) + 10(0) + 1 = 101 \\
d = 100u + 10v + w = 100(0) + 10(1) + 1 = 11
\end{align*}
\]

b) Для комбинации (1, 1, 0, 1):
\[
\begin{align*}
x = 1, m = 1, q = 0, u = 1 \\
a = 100x + 10y + z = 100(1) + 10(1) + 0 = 110 \\
b = 100m + 10n + p = 100(1) + 10(1) + 1 = 111 \\
c = 100q + 10r + s = 100(0) + 10(1) + 1 = 11 \\
d = 100u + 10v + w = 100(1) + 10(0) + 1 = 101
\end{align*}
\]

c) Для комбинации (1, 0, 1, 1):
\[
\begin{align*}
x = 1, m = 0, q = 1, u = 1 \\
a = 100x + 10y + z = 100(1) + 10(0) + 1 = 101 \\
b = 100m + 10n + p = 100(0) + 10(1) + 1 = 11 \\
c = 100q + 10r + s = 100(1) + 10(1) + 1 = 111 \\
d = 100u + 10v + w = 100(1) + 10(0) + 1 = 101
\end{align*}
\]

d) Для комбинации (0, 1, 1, 1):
\[
\begin{align*}
x = 0, m = 1, q = 1, u = 1 \\
a = 100x + 10y + z = 100(0) + 10(1) + 1 = 11 \\
b = 100m + 10n + p = 100(1) + 10(0) + 1 = 101 \\
c = 100q + 10r + s = 100(1) + 10(1) + 1 = 111 \\
d = 100u + 10v + w = 100(1) + 10(0) + 1 = 101
\end{align*}
\]

Таким образом, мы получаем 4 различных натуральных числа: 110, 111, 101 и 11, которые можно получить из четвертого числа 357 путем зачеркивания одной из его цифр.