Сколько пассажиров может выйти на одном этаже в лифте 12-этажного дома, если на каждом этаже, начиная со 2-го, каждый

В данной задаче у нас есть 12-этажный дом и лифт. На каждом этаже, начиная со второго, пассажиры могут независимо от остальных с одинаковой вероятностью выйти.

1. Чтобы определить, сколько пассажиров может выйти на одном этаже, нам нужно узнать, сколько всего возможных вариантов выхода есть для каждого пассажира на каждом этаже. Так как каждый пассажир независим от остальных, для каждого этажа у нас есть две возможности: либо пассажир выходит, либо остаётся в лифте.

Таким образом, для каждого этажа, начиная со второго, у нас есть 2 возможности. Всего у нас 11 таких этажей. Для первого этажа, очевидно, есть только одна возможность - остаться в лифте. Поэтому общее количество вариантов выхода пассажиров на этажах от второго до двенадцатого будет равно:

\(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{11} = 2048\) возможных вариантов.

Получается, что на каждом этаже может выйти 2048 пассажиров вероятностно.

2. Чтобы определить, на каких этажах могут выйти два пассажира, а третий - на другом этаже, нам нужно посчитать комбинации, где два пассажира выходят на одном этаже, а третий пассажир - на другом этаже.

Однако, перед тем как посчитать эти комбинации, давайте определим, сколько всего возможных комбинаций выхода пассажиров на трех этажах. Возможны следующие варианты:

- Все три пассажира выходят на разных этажах (это одна комбинация).
- Два пассажира выходят на одном этаже, а третий - на другом (это три комбинации).

Итого, всего существует 4 комбинации выхода пассажиров на трех этажах.

Теперь, чтобы посчитать комбинации, где два пассажира выходят на одном этаже, а третий - на другом, у нас есть два варианта:

- Первая комбинация: два пассажира выходят на одном из 11 этажей (исключая первый этаж), а третий пассажир выходит на любом из оставшихся 10 этажей. Таких комбинаций будет \(11 \times 10 = 110\).
- Вторая комбинация: два пассажира выходят на первом этаже, а третий пассажир выходит на любом из оставшихся 11 этажей. Таких комбинаций будет \(1 \times 11 = 11\).

Итого, всего существует 110 + 11 = 121 комбинация, где два пассажира выходят на одном этаже, а третий - на другом.

3. Чтобы определить, на каких разных этажах могут выйти пассажиры, у нас есть несколько вариантов.

Количество различных комбинаций выхода пассажиров на этажах зависит от количества пассажиров. Мы уже знаем, что на каждом этаже могут выйти 2048 пассажиров. Давайте рассмотрим, сколько всего различных комбинаций возможно.

Если в лифте находится только один пассажир, то он может выйти на любом из 11 этажей (исключая первый этаж). Таких комбинаций будет 11.

Если в лифте находятся два пассажира, то они могут выйти на любой паре из 11 этажей (исключая первый этаж), и количество таких различных комбинаций можно рассчитать по формуле комбинаторики:

\(\binom{11}{2}\) (читается "11 по 2") или \(C(11, 2)\) равно \(\frac{11!}{2!(11-2)!}\) и будет равно 55.

Аналогично, для трех пассажиров, они могут выйти на любой тройке из 11 этажей (исключая первый этаж), и количество различных комбинаций можно рассчитать с помощью формулы комбинаторики:

\(\binom{11}{3}\) или \(C(11, 3)\) равно \(\frac{11!}{3!(11-3)!}\) и будет равно 165.

Продолжая этот подход, для четырех пассажиров количество различных комбинаций будет равно \(\binom{11}{4}\) или \(C(11, 4)\), для пяти пассажиров - \(\binom{11}{5}\) или \(C(11, 5)\), и так далее.

Суммируя все комбинации, получим:

количество различных комбинаций = \(11 + 55 + 165 + \ldots\)

Заметим, что это представляет собой сумму биномиальных коэффициентов (чисел Фибоначчи):

количество различных комбинаций = \(2^{11} - 1\)

Таким образом, всего существует \(2^{11} - 1 = 2047\) различных комбинаций, где пассажиры могут выйти на разных этажах.

4. Чтобы ответить на вопрос, какое количество пассажиров может быть в лифте, нам потребуется уточнить, ограничено ли количество пассажиров каким-либо числом. В задаче такой информации нет, поэтому мы можем предположить, что лифт может вместить сколь угодно много пассажиров.