На каком графике функции y = 2 - cos(0,5x) промежутки убывания можно отобразить?

Что такое промежуток убывания? Промежуток убывания функции - это интервалы оси абсцисс, на которых значение функции уменьшается.

Для данной функции \(y = 2 - \cos(0.5x)\) мы можем определить промежутки убывания, проанализировав значение производной функции.

Сначала найдём производную этой функции:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2 - \cos(0.5x))\]

Чтобы продолжить анализировать поведение функции, нам потребуется найти критические точки, то есть точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[\frac{dy}{dx} = 0\]

Выполним вычисления:

\[\frac{d}{dx}(2 - \cos(0.5x)) = \frac{d}{dx}(2) - \frac{d}{dx}(\cos(0.5x)) = 0 - \frac{d}{dx}(\cos(0.5x)) = 0\]

\[-\frac{d}{dx}(\cos(0.5x)) = 0\]

Теперь найдём производную от \(\cos(0.5x)\):

\[\frac{d}{dx}(\cos(0.5x)) = -0.5\sin(0.5x)\]

Подставим найденное значение производной обратно в уравнение:

\[-0.5\sin(0.5x) = 0\]

Теперь найдём значения \(x\), при которых \(\sin(0.5x) = 0\):

\[\sin(0.5x) = 0\]

\[\Rightarrow 0.5x = k\pi, \quad k \in Z\]

\[\Rightarrow x = 2k\pi, \quad k \in Z\]

Мы нашли критические точки \(x = 2k\pi\). Чтобы определить, является ли функция возрастающей или убывающей в окрестности каждой критической точки, мы можем использовать вторую производную.

Найдём вторую производную нашей исходной функции \(y = 2 - \cos(0.5x)\):

\[\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(-0.5\sin(0.5x)\right) = -0.5 \cdot -0.5 \cdot \cos(0.5x) = 0.25\cos(0.5x)\]

Теперь вычислим значение второй производной для каждой критической точки:

\[\frac{d^2y}{dx^2} = 0.25\cos(0.5(2k\pi)) = 0.25\cos(k\pi) = (-1)^k \cdot 0.25\]

Теперь посмотрим на знак второй производной в окрестности каждой критической точки:

- Если вторая производная положительна (\(>0\)) в окрестности критической точки \(x = 2k\pi\), то функция возрастает в этой окрестности.
- Если вторая производная отрицательна (\(<0\)) в окрестности критической точки \(x = 2k\pi\), то функция убывает в этой окрестности.

Таким образом, промежутки убывания функции \(y = 2 - \cos(0.5x)\) будут соответствовать интервалам оси абсцисс, где значение второй производной \(0.25\cos(0.5x)\) отрицательно.

Один из таких промежутков можно найти, рассмотрев значения \(x\) в интервале \([0, 2\pi]\) и проверив знак второй производной:

\[\frac{d^2y}{dx^2} = 0.25\cos(0.5x)\]

Подставляем значения \(x\):

\[\frac{d^2y}{dx^2} = 0.25\cos(0.5 \cdot 0) = 0.25\cos(0) = 0.25 > 0\]

В данном случае вторая производная положительна, поэтому функция \(y = 2 - \cos(0.5x)\) возрастает на интервале \([0, 2\pi]\).

Обратите внимание, что это только один из промежутков убывания функции, и чтобы найти остальные промежутки, вам придётся анализировать функцию на других интервалах.

Таким образом, на графике функции \(y = 2 - \cos(0.5x)\) мы можем отобразить промежуток убывания на интервале \([0, 2\pi]\).