Сколько общих пересадочных станций понадобится для метро с 100 линиями, при условии, что любые две линии пересекаются

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько частей и проследим логический ход решения.

Для начала, давайте определим, сколько пересечений будет иметь каждая линия метро. Поскольку любые две линии пересекаются в одной общей станции, каждая пара линий будет иметь по одному пересечению. У нас есть 100 линий, поэтому общее количество уникальных пересечений можно найти, используя формулу для суммы натуральных чисел: \(N = \frac{{n \cdot (n-1)}}{2}\), где \(N\) - количество уникальных пересечений, а \(n\) - количество линий метро.

Подставим значения в формулу. У нас есть 100 линий метро:
\[N = \frac{{100 \cdot (100-1)}}{2} = \frac{{100 \cdot 99}}{2} = 4950\]

Теперь давайте посмотрим на станции, где встречаются три линии. У нас есть только одна такая станция. Каждая из этих трех линий пересекается друг с другом, поэтому каждая тройка линий создает два уникальных пересечения.

Мы знаем, что имеется 4950 уникальных пересечений у всех линий, кроме тех, где три линии встречаются на одной станции. Эта одна станция создает 2 уникальных пересечения для каждой тройки линий. У нас есть только одна такая станция, поэтому общее количество пересечений будет увеличено на 2 относительно количества троек линий.

Если обозначить количество троек линий как \(x\), то общее количество пересечений можно выразить, используя формулу: \(4950 + 2x\).

Дано, что общее количество линий метро составляет 100. Для каждого принципиального счетчика линий метро, число троек равно:
\[x = \binom{n}{3} = \frac{n!}{3!(n-3)!}\]
где \(n\) - количество линий метро.
Подставим значение \(n=100\) в формулу, чтобы найти количество троек линий:
\[x = \binom{100}{3} = \frac{100!}{3!(100-3)!} = \frac{100!}{3!97!}\]

Теперь мы можем найти общее количество пересечений:
\[4950 + 2x = 4950 + 2 \cdot \frac{100!}{3!97!}\]

Но нас попросили найти общее количество пересадочных станций, а не количество пересечений. Общее количество пересадочных станций будет равно общему числу пересечений плюс число троек линий (потому что каждая такая тройка создает одну дополнительную пересадочную станцию).

Поэтому, общее количество пересадочных станций можно найти, прибавив число троек линий к общему числу пересечений:
\[ \text{количество пересадочных станций} = 4950 + 2x + x \]

Подставим значение \(x = \frac{100!}{3!97!}\) в эту формулу:
\[ \text{количество пересадочных станций} = 4950 + 2 \cdot \frac{100!}{3!97!} + \frac{100!}{3!97!} \]

Это окончательный ответ на задачу с указанным требованием по подробности и обоснованию ответа. Оставим его в таком виде. Если вам нужен числовой ответ, вы можете использовать калькулятор или программу для вычисления этого выражения.