Будет ли изменяться значение определителя, если к каждой строке, за исключением последней, прибавить последнюю строку?

Конечно, я могу предоставить подробное объяснение данной задачи. Для начала, давайте рассмотрим определение определителя матрицы и то, как он вычисляется.

Определитель матрицы - это числовое значение, которое связано с матрицей. Для квадратной матрицы размером \(n \times n\) определитель обозначается как \(det(A)\) или \(\lvert A \rvert\).

Теперь перейдем к самой задаче: "Будет ли изменяться значение определителя, если к каждой строке, за исключением последней, прибавить последнюю строку?"

Предположим, у нас есть квадратная матрица с элементами \(a_{ij}\), где \(1 \leq i,j \leq n\). Давайте обозначим последнюю строку матрицы как \(\mathbf{r}\) и последнюю строку после добавления к каждой предыдущей строке как \(\mathbf{r"}\).

Таким образом, матрица до добавления будет выглядеть следующим образом:

\[
A =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \dots & a_{n-1,n} \\
a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \\
\end{bmatrix}
\]

а матрица после добавления будет выглядеть следующим образом:

\[
A" =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \dots & a_{n-1,n} \\
a"_{n,1} & a"_{n,2} & \dots & a"_{n,n} \\
\end{bmatrix}
\]

Теперь, чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо узнать, изменится ли значение определителя при этой операции.

Известно, что определитель матрицы можно вычислить с помощью разложения по определенной строке или определенному столбцу. Рассмотрим разложение по последней строке:

\[
\lvert A \rvert = a_{n,1}C_{n,1} + a_{n,2}C_{n,2} + \dots + a_{n,n}C_{n,n}
\]

где \(C_{n,k}\) - это алгебраическое дополнение элемента \(a_{n,k}\).

Теперь, после добавления последней строки каждой предыдущей строке, мы получим новую матрицу \(A"\). Рассмотрим определитель новой матрицы при разложении по последней строке:

\[
\lvert A" \rvert = a"_{n,1}C_{n,1} + a"_{n,2}C_{n,2} + \dots + a"_{n,n}C_{n,n}
\]

Заметим, что после добавления последней строки каждой предыдущей, элементы \(a"_{n,k}\) будут равны сумме соответствующих элементов исходной последней строки и предыдущих строк:

\[
a"_{n,k} = a_{n,k} + a_{n,k} \quad \text{для всех} \quad 1 \leq k \leq n
\]

Теперь, подставим полученные значения в определитель \(A"\):

\[
\lvert A" \rvert = (a_{n,1} + a_{n,1})C_{n,1} + (a_{n,2} + a_{n,2})C_{n,2} + \dots + (a_{n,n} + a_{n,n})C_{n,n}
\]

Упрощая данное выражение, получим:

\[
\lvert A" \rvert = 2(a_{n,1}C_{n,1}) + 2(a_{n,2}C_{n,2}) + \dots + 2(a_{n,n}C_{n,n})
\]

Заметим, что каждое слагаемое в полученном выражении равно \(2\) разам соответствующему слагаемому в исходном определителе матрицы \(A\). То есть, каждое слагаемое в определителе \(A"\) в \(2\) раза больше, чем в определителе \(A\).

Таким образом, ответ на вопрос задачи: значение определителя изменится в \(2\) раза при добавлении последней строки к каждой предыдущей строке матрицы.

Надеюсь, это объяснение было понятным. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь!