Сколько месяцев производят старую модель телефона, если она выпускается ограниченное число месяцев, с ежемесячным

Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

1. Пусть число месяцев, в течение которых выпускают старую модель телефона, равно \(n\).
2. Согласно условию, каждый месяц количество выпущенных телефонов уменьшается на одно и то же число.
3. Это означает, что количество выпущенных телефонов за второй месяц будет на 1 меньше, чем количество выпущенных за первый месяц.
4. Аналогично, количество выпущенных телефонов за предпоследний месяц будет на 1 меньше, чем за последний месяц.
5. Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:
\[
(n + (n-1)) \cdot \frac{n}{2} = 2310
\]
Здесь \(\frac{n}{2}\) - сумма первых \(n\) чисел, а \(n + (n-1)\) - сумма второго и предпоследнего чисел.
6. Приведем это уравнение к квадратному виду:
\[
\frac{n^2 - n}{2} = 2310
\]
7. Домножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
\[
n^2 - n = 4620
\]
8. Теперь перенесем все члены в левую часть уравнения и приведем его к виду квадратного уравнения:
\[
n^2 - n - 4620 = 0
\]
9. Решим это квадратное уравнение с помощью факторизации или квадратного корня.
10. Факторизуем это уравнение:
\[
(n - 66)(n + 70) = 0
\]
11. Получаем два возможных значения для \(n\): \(n = 66\) и \(n = -70\).
12. Исходя из условия задачи, мы ищем положительное значение \(n\), поэтому отбрасываем значения, не соответствующие этому условию.
13. Ответ: количество месяцев, в течение которых выпускали старую модель телефона, равно 66.

Таким образом, старая модель телефона производилась в течение 66 месяцев.