Сколько мест в амфитеатре, если в первом ряду 15 мест, а в каждом следующем на 2 больше, и всего 26 рядов?

Для того чтобы решить данную задачу, мы можем использовать знания о последовательностях и суммах арифметических прогрессий.

Посмотрим на количество мест в каждом ряду амфитеатра. В первом ряду у нас 15 мест.

В каждом следующем ряду количество мест на 2 больше, чем в предыдущем ряду. Это означает, что во втором ряду будет \(15 + 2 = 17\) мест, в третьем ряду – \(17 + 2 = 19\) мест, и так далее.

Мы знаем, что всего имеется 26 рядов. Давайте вычислим количество мест в каждом ряду по очереди:

\[
15, 17, 19, 21, 23, \dots
\]

Мы можем заметить, что каждое последующее число получается из предыдущего путем прибавления 2. Таким образом, это является арифметической прогрессией с первым элементом \(a_1 = 15\) и разностью \(d = 2\).

Чтобы найти количество мест в каждом ряду, нам нужно вычислить \(a_{26}\) – 26-ый элемент этой арифметической прогрессии.

Мы можем воспользоваться формулой для \(n\)-го элемента арифметической прогрессии:

\[
a_n = a_1 + (n-1)d,
\]

где \(a_n\) – \(n\)-ый элемент, \(a_1\) – первый элемент, \(d\) – разность прогрессии.

Подставим наши значения:

\[
a_{26} = 15 + (26-1) \cdot 2,
\]

\[
a_{26} = 15 + 25 \cdot 2,
\]

\[
a_{26} = 15 + 50,
\]

\[
a_{26} = 65.
\]

Таким образом, в 26-ом ряду амфитеатра будет 65 мест.

Теперь, чтобы найти общее количество мест в амфитеатре, нам нужно просуммировать количество мест в каждом ряду.

Мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:

\[
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n),
\]

где \(S_n\) – сумма первых \(n\) элементов, \(a_1\) – первый элемент, \(a_n\) – \(n\)-ый элемент.

Подставим наши значения:

\[
S_{26} = \frac{26}{2}(15 + 65),
\]

\[
S_{26} = 13 \times 80,
\]

\[
S_{26} = 1040.
\]

Таким образом, в этом амфитеатре всего будет 1040 мест.