Доказать, что при всех возможных значениях переменной x значение выражения: 1) -х2(в квадрате)/х2+ 5 - не является

Конечно! Давайте решим задачу по порядку.

1) Доказательство, что выражение \(-\frac{x^2}{{x^2+5}}\) не является положительным для всех значений переменной \(x\):

Для начала, давайте рассмотрим выражение \(-\frac{x^2}{{x^2+5}}\). Оно будет положительным, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, или оба отрицательны. Таким образом, чтобы обосновать, что выражение не является положительным для всех значений \(x\), нам нужно доказать, что числитель всегда будет отрицательным, а знаменатель всегда будет неотрицательным.

Пусть \(x\) - произвольное значение переменной.

Числитель: \(x^2\)

Знаменатель: \(x^2+5\)

Для доказательства отрицательности числителя, рассмотрим два случая:

a) Если \(x > 0\):
В этом случае, квадрат положительного числа будет также положительным, т.е. \(x^2 > 0\).

b) Если \(x < 0\):
В этом случае, квадрат отрицательного числа будет также положительным, т.е. \(x^2 > 0\).

Таким образом, для всех возможных значений \(x\), числитель \(x^2\) будет положительным.

Для доказательства неотрицательности знаменателя, рассмотрим выражение \(x^2+5\):

Поскольку \(x^2\) всегда неотрицательно и добавление положительного значения 5 только увеличивает результат, значит \(x^2+5\) всегда будет неотрицательным.

В итоге, мы доказали, что числитель \(x^2\) всегда положительный, а знаменатель \(x^2+5\) всегда неотрицательный. Следовательно, выражение \(-\frac{x^2}{{x^2+5}}\) не может быть положительным для всех значений переменной \(x\).

2) Доказательство, что выражение \(\frac{{x^2+4x+4}}{{x^2-2x+1}}\) не является большим и отрицательным для всех значений переменной \(x\):

Аналогично первой задаче, для доказательства этого выражения не является большим и отрицательным для всех значений \(x\), нам нужно показать, что числитель неотрицателен, а знаменатель положителен.

Выражение в числителе: \(x^2+4x+4\)

Выражение в знаменателе: \(x^2-2x+1\)

Для доказательства неотрицательности числителя рассмотрим его факторизацию:

\(x^2+4x+4 = (x+2)^2\)

Заметим, что квадрат любого числа является неотрицательным, т.е. \((x+2)^2\) неотрицательно для любого значения \(x\).

Для доказательства положительности знаменателя, также рассмотрим его факторизацию:

\(x^2-2x+1 = (x-1)^2\)

Так как квадрат любого числа будет неотрицательным, то \((x-1)^2\) также неотрицательно для любого значения \(x\).

Таким образом, мы доказали, что числитель \((x+2)^2\) неотрицательный, а знаменатель \((x-1)^2\) также неотрицательный для всех значений переменной \(x\). Следовательно, выражение \(\frac{{x^2+4x+4}}{{x^2-2x+1}}\) не может быть большим и отрицательным для всех значений переменной \(x\).