Сколько линий можно нарисовать, проходящих через три из девяти отмеченных точек на плоскости?

Чтобы решить эту задачу, давайте вспомним некоторые основные принципы комбинаторики. Если есть n точек на плоскости и мы хотим нарисовать линию, проходящую через любые 2 из этих точек, то количество возможных линий будет соответствовать числу сочетаний из n по 2, обозначаемому как C(n, 2) или \({n \choose 2}\).

Теперь посмотрим на задачу конкретно. У нас есть 9 отмеченных точек на плоскости, и нам нужно определить, сколько линий можно нарисовать, проходящих через любые 3 из этих точек.

Для этого нам нужно вычислить число сочетаний из 9 по 3, то есть C(9, 3) или \({9 \choose 3}\). Формула для вычисления числа сочетаний выглядит так:

\({n \choose k} = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\),

где n! обозначает факториал числа n.

Вычислим число сочетаний из 9 по 3:

\({9 \choose 3} = \frac{{9!}}{{3! \cdot (9-3)!}} = \frac{{9!}}{{3! \cdot 6!}}\).

Теперь, зная формулу для факториала, мы можем вычислить это значение:

\(\frac{{9!}}{{3! \cdot 6!}} = \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}}{{3! \cdot 6!}} = \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7}}{{3 \cdot 2}}\).

Простые вычисления показывают нам ответ:

\(\frac{{9 \cdot 8 \cdot 7}}{{3 \cdot 2}} = \frac{{504}}{{6}} = 84\).

Таким образом, можно нарисовать 84 линии, проходящих через любые 3 из 9 отмеченных точек на плоскости.