Сколько коротких деталей было использовано Матвеем и Ильей, если они вместе строили дорогу из конструктора длиной

Пусть короткая деталь имеет длину \(x\) метров. Тогда, по условию задачи, Матвей и Илья использовали вместе семь длинных деталей длиной \(y\) метров, чтобы построить дорогу длиной 7 метров.

Мы знаем, что длина дороги равна сумме длин использованных деталей, поэтому мы можем записать уравнение:

\[7 = 7y + xm\]

Потому что длинных деталей использовали семь штук, а короткие детали мы обозначили буквой \(x\)

В данном уравнении у нас две неизвестные: \(x\) и \(y\), поэтому нам нужно найти значения обеих переменных.

Теперь рассмотрим другое условие задачи, где Матвей использовал на одну короткую деталь больше, чем Илья.

Это означает, что количество коротких деталей, использованных Матвеем, равно количеству длинных деталей, использованных Ильей, плюс одну:

\[x = y + 1\]

Теперь у нас есть система уравнений, которую мы можем решить для нахождения \(x\) и \(y\).

Сначала мы можем выразить \(y\) из второго уравнения:

\[y = x - 1\]

Теперь заменим \(y\) в первом уравнении:

\[7 = 7(x - 1) + xm\]

Раскроем скобки:

\[7 = 7x - 7 + xm\]

Упростим:

\[7 = (7 + m)x - 7\]

Выразим \(x\):

\[14 = (7 + m)x\]

\[x = \frac{14}{7 + m}\]

Теперь мы можем найти количество коротких деталей, используя найденное значение \(x\) и любое значение \(m\), которое является известным положительным целым числом.

Например, если \(m = 2\), то:

\[x = \frac{14}{7 + 2} = \frac{14}{9} \approx 1.556\]

Однако, по условию задачи \(x\) должно быть целым числом, поэтому в этом случае мы не можем использовать \(m = 2\).

Мы можем продолжить перебирать значения \(m\) и находить соответствующие значения \(x\) или мы можем взять наибольший общий делитель для чисел 7 и 14, так как \(x\) должно быть целым числом.

Найдем наибольший общий делитель для 7 и 14:

7 = 1 * 7

14 = 2 * 7

Наибольший общий делитель равен 7.

Теперь найдем значение \(x\):

\[x = \frac{14}{7 + 7} = \frac{14}{14} = 1\]

Значит, если Матвей и Илья вместе построили дорогу длиной 7 метров и использовали 7 длинных деталей, то им было использовано ровно одна короткая деталь.