Сколько корней уравнения sin12xcos22x=sin22xcos12x на интервале от [-9π;10π]?

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо найти количество корней уравнения sin(12x)cos(22x) = sin(22x)cos(12x) на заданном интервале [-9π;10π].

Для начала давайте проанализируем данное уравнение. Заметим, что оно содержит произведение тригонометрических функций, а именно sin(12x)cos(22x) и sin(22x)cos(12x). Мы можем использовать тригонометрические тождества для упрощения данного уравнения.

Используя формулу произведения синуса и косинуса, мы можем переписать уравнение следующим образом:

\[ \frac{1}{2} \cdot (sin(34x) - sin(10x)) = 0 \]

Теперь давайте решим получившееся уравнение. Для этого приравняем выражение в скобках к нулю и решим его:

\[ sin(34x) - sin(10x) = 0 \]

Для удобства воспользуемся тригонометрической формулой для разности синусов:

\[ 2 \cdot cos\left(\frac{34x + 10x}{2}\right) \cdot sin\left(\frac{34x - 10x}{2}\right) = 0 \]

\[ cos(22x) \cdot sin(12x) = 0 \]

Теперь у нас есть два уравнения:

1) cos(22x) = 0
2) sin(12x) = 0

Давайте решим каждое уравнение по отдельности.

1) Уравнение cos(22x) = 0
Для решения данного уравнения нам необходимо найти значения углов, для которых cos(22x) равен нулю на заданном интервале. Заметим, что cos(22x) равен нулю, если его аргумент 22x равен \(\frac{\pi}{2}\) или \(\frac{3\pi}{2}\)

Решим уравнение:
22x = \(\frac{\pi}{2}\), 22x = \(\frac{3\pi}{2}\)

Для первого уравнения решим:
x1 = \(\frac{\pi}{44}\)

Для второго уравнения решим:
x2 = \(\frac{3\pi}{44}\)

2) Уравнение sin(12x) = 0
Для решения данного уравнения нам необходимо найти значения углов, для которых sin(12x) равен нулю на заданном интервале. Заметим, что sin(12x) равен нулю, если его аргумент 12x равен нулю, \(\pi\), \(2\pi\), \(3\pi\) и т.д.

Решим уравнение:
12x = 0, 12x = \(\pi\), 12x = \(2\pi\), 12x = \(3\pi\)

Для первого уравнения решим:
x3 = 0

Для второго уравнения решим:
x4 = \(\frac{\pi}{12}\)

Для третьего уравнения решим:
x5 = \(\frac{2\pi}{12}\) = \(\frac{\pi}{6}\)

Для четвертого уравнения решим:
x6 = \(\frac{3\pi}{12}\) = \(\frac{\pi}{4}\)

Таким образом, мы получили все значения x, при которых исходное уравнение имеет корни на заданном интервале [-9π;10π]:

x1 = \(\frac{\pi}{44}\)

x2 = \(\frac{3\pi}{44}\)

x3 = 0

x4 = \(\frac{\pi}{12}\)

x5 = \(\frac{\pi}{6}\)

x6 = \(\frac{\pi}{4}\)

Надеюсь, это подробное пояснение помогло вам понять, как мы пришли к ответу.