Сколько корней уравнения cos ( 90 - x ) = sin ( 180 + 2x ) на интервале от -200 градусов до 300 градусов?

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом. У нас есть уравнение:

\[\cos (90 - x) = \sin(180 + 2x)\]

Для начала, давайте применим тригонометрические тождества. Напомним, что \(\cos(\alpha) = \sin(90 - \alpha)\). Используя это тождество, мы можем переписать уравнение как:

\[\sin(90 - x) = \sin(180 + 2x)\]

Теперь нам нужно найти все значения \(x\), для которых синусы совпадают. Ниже приведены два возможных случая:

Случай 1: \(\sin(90 - x) = \sin(180 + 2x)\)

В этом случае, чтобы синусы были равными, нужно, чтобы аргументы этих синусов были равными. Это означает, что у нас возникает следующее уравнение:

\[90 - x = 180 + 2x\]

Теперь проведём алгебраические операции, чтобы решить это уравнение:

\[3x = 90 - 180\]
\[3x = -90\]
\[x = -30\]

Таким образом, в данном случае уравнение имеет один корень \(x = -30\).

Случай 2: \(\sin(90 - x) = \sin(180 + 2x)\)

В этом случае мы применим другое свойство синуса: \(\sin(\alpha) = \sin(180 - \alpha)\), чтобы переписать уравнение:

\[\sin(x - 90) = \sin(180 + 2x)\]

Теперь мы должны найти значения \(x\), при которых синусы равны. Это возможно только если аргументы синусов равны:

\[x - 90 = 180 + 2x\]

Теперь решим это уравнение:

\[x = -270\]

Значит, в данном случае уравнение имеет один корень \(x = -270\).

Таким образом, на интервале от -200 до 300 градусов данное уравнение имеет два корня: -30 и -270.

Надеюсь, это решение понятно и полезно для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь вам!