Сколько корней имеет уравнение (2tgx)/(1+tg²x) = 1/3 на интервале [0; 9π/4], если график функции y=sinx?

Для решения данной задачи, мы должны вначале считывать условие и понять, что именно требуется найти. Данное уравнение имеет вид \(\frac{{2\tan x}}{{1+\tan^2 x}} = \frac{1}{3}\). На интервале \([0; 9\pi/4]\) нам нужно найти количество корней этого уравнения.

Давайте начнем с того, чтобы привести уравнение к более удобному виду. Заметим, что \(\tan^2 x + 1 = \sec^2 x\), следовательно, мы можем переписать уравнение следующим образом:

\[\frac{{2\tan x}}{{\tan^2 x + 1}} = \frac{1}{3}.\]

Теперь давайте умножим обе части уравнения на \((\tan^2 x + 1)\), чтобы избавиться от дроби:

\[2\tan x = \frac{(\tan^2 x + 1)}{3}.\]

Раскроем скобки в правой части:

\[2\tan x = \frac{\tan^2 x}{3} + \frac{1}{3}.\]

Теперь добавим \(-2\tan x\) к обеим частям уравнения:

\[0 = \frac{\tan^2 x}{3} - 2\tan x + \frac{1}{3}.\]

Мы получили квадратное уравнение. Давайте представим его в виде:

\[\frac{\tan^2 x}{3} - 2\tan x + \frac{1}{3} = 0.\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта. Для квадратного уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\), дискриминант вычисляется как \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем уравнении \(a = \frac{1}{3}\), \(b = -2\), \(c = \frac{1}{3}\). Подставим значения в формулу дискриминанта:

\[D = (-2)^2 - 4\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right) = 4 - \frac{4}{9} = \frac{32}{9}.\]

Теперь рассмотрим значения дискриминанта, чтобы определить количество корней:

1. Если \(D > 0\), то у уравнения будет два различных корня.
2. Если \(D = 0\), то у уравнения будет один корень.
3. Если \(D < 0\), то у уравнения не будет действительных корней.

В нашем случае \(D = \frac{32}{9}\), что больше нуля, следовательно, у уравнения будет два различных корня.

Таким образом, на интервале \([0; 9\pi/4]\) у уравнения \(\left(\frac{{2\tan x}}{{1+\tan^2 x}}\right) = \frac{1}{3}\) будет два корня.