a) Каковы скорости теплохода по течению и против течения реки? b) Какое расстояние теплоход преодолел по течению реки?

Предположим, что течение реки имеет постоянную скорость \(v_{\text{теч}}\) и теплоход движется с постоянной скоростью \(v_{\text{теплохода}}\).
Теперь рассмотрим каждый пункт задачи по очереди:

a) Скорость теплохода по течению реки:
По определению скорости, скорость теплохода по течению будет суммой скорости течения и скорости самого теплохода:
\[v_{\text{по течению}} = v_{\text{теплохода}} + v_{\text{теч}}.\]

Скорость теплохода против течения реки будет разностью скорости теплохода и скорости течения:
\[v_{\text{против течения}} = v_{\text{теплохода}} - v_{\text{теч}}.\]

b) Расстояние, пройденное теплоходом по течению реки:
Чтобы найти расстояние, пройденное теплоходом, необходимо умножить время в пути на скорость теплохода:
\[d_{\text{по течению}} = v_{\text{по течению}} \cdot t.\]

c) Расстояние, пройденное теплоходом против течения реки:
Опять же, используем формулу \(d = v \cdot t\), но в этом случае используем скорость теплохода против течения:
\[d_{\text{против течения}} = v_{\text{против течения}} \cdot t.\]

d) Сравнение расстояний:
Чтобы сравнить расстояния, пройденные теплоходом по течению и против течения, необходимо выразить их отношение. Обозначим расстояние по течению как \(D_{\text{по течению}}\) и расстояние против течения как \(D_{\text{против течения}}\). Тогда отношение расстояний можно записать следующим образом:
\[
\frac{{D_{\text{по течению}}}}{{D_{\text{против течения}}}} = \frac{{d_{\text{по течению}}}}{{d_{\text{против течения}}}} = \frac{{v_{\text{по течению}} \cdot t}}{{v_{\text{против течения}} \cdot t}} = \frac{{v_{\text{теплохода}} + v_{\text{теч}}}{{v_{\text{теплохода}} - v_{\text{теч}}}}.
\]

Вот и математическая модель, которая позволяет сравнить расстояния, пройденные теплоходом по течению и против течения реки. Не забывайте, что эта модель базируется на предположении постоянной скорости течения реки и постоянной скорости теплохода. Если данные условия не выполняются, результат может отличаться.