Сколько корней есть у системы уравнений, состоящей из х2 +у2=9 и у=2-х2? Вам нужно предоставить объяснения

Для начала давайте рассмотрим систему уравнений, которую нам нужно решить:

\[
\begin{align*}
x^2 + y^2 &= 9 \quad \text{(уравнение 1)} \\
y &= 2 - x^2 \quad \text{(уравнение 2)}
\end{align*}
\]

Мы хотим найти значения \(x\) и \(y\), удовлетворяющие обоим уравнениям системы одновременно.

Для начала заметим, что уравнение 2 может быть переписано в следующем виде:

\[y + x^2 = 2 \quad \text{(уравнение 2")}.\]

Теперь у нас есть две системы уравнений:

\[
\begin{align*}
x^2 + y^2 &= 9 \quad \text{(уравнение 1)} \\
y + x^2 &= 2 \quad \text{(уравнение 2")}
\end{align*}
\]

Мы можем решить эту систему методом замены или методом исключения.

Давайте воспользуемся методом замены. В уравнении 2" мы можем выразить \(y\) через \(x\):

\[y = 2 - x^2.\]

Теперь мы можем подставить это выражение для \(y\) в уравнение 1:

\[x^2 + (2 - x^2)^2 = 9.\]

Давайте решим это уравнение пошагово:

1. Возведем \(2 - x^2\) в квадрат:

\[(2 - x^2)^2 = 4 - 4x^2 + x^4.\]

2. Подставим это выражение в уравнение 1:

\[x^2 + (4 - 4x^2 + x^4) = 9.\]

3. Раскроем скобки:

\[x^2 + 4 - 4x^2 + x^4 = 9.\]

4. Соберем все слагаемые и приведем уравнение к виду квадратного уравнения:

\[x^4 - 3x^2 - 5 = 0.\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое мы можем решить.

5. Решим квадратное уравнение. Можно заметить, что это квадратное уравнение относительно \(x^2\). Обозначим \(x^2 = t\):

\[t^2 - 3t - 5 = 0.\]

6. Решаем это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение \(at^2 + bt + c = 0\) и применить формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac.\]

В нашем случае:

\[a = 1, \quad b = -3, \quad c = -5.\]

Вычислим дискриминант:

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 9 + 20 = 29.\]

7. Так как дискриминант \(D = 29\) положителен, у нас есть два действительных корня для квадратного уравнения \(t^2 - 3t - 5 = 0\). Найдем эти корни с использованием формулы:

\[t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Подставим значения:

\[t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}.\]

Теперь найдем значения \(x\) из уравнения \(x^2 = t\):

\[x_{1,2} = \sqrt{t_{1,2}}.\]

Таким образом, у нас есть четыре значения \(x\):

\[x_1 = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{29}}{2}}, \quad x_2 = -\sqrt{\frac{3 + \sqrt{29}}{2}}, \quad x_3 = \sqrt{\frac{3 - \sqrt{29}}{2}}, \quad x_4 = -\sqrt{\frac{3 - \sqrt{29}}{2}}.\]

8. Теперь, для каждого значения \(x\), мы можем найти соответствующее значение \(y\) с использованием выражения \(y = 2 - x^2\):

\[y_1 = 2 - \left(\sqrt{\frac{3 + \sqrt{29}}{2}}\right)^2,\]
\[y_2 = 2 - \left(-\sqrt{\frac{3 + \sqrt{29}}{2}}\right)^2,\]
\[y_3 = 2 - \left(\sqrt{\frac{3 - \sqrt{29}}{2}}\right)^2,\]
\[y_4 = 2 - \left(-\sqrt{\frac{3 - \sqrt{29}}{2}}\right)^2.\]

Таким образом, у нас есть четыре значения \(y\).

Мы нашли четыре пары значений \((x, y)\), которые являются решениями системы уравнений. Они имеют вид:

\[(x_1, y_1), \quad (x_2, y_2), \quad (x_3, y_3), \quad (x_4, y_4).\]

Ответ на данную задачу - в системе уравнений есть четыре корня.