Сколько корней есть у системы уравнений, состоящей из х2 +у2=9 и у=2-х2? Вам нужно предоставить объяснения

Для начала давайте рассмотрим систему уравнений, которую нам нужно решить:

$$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2& =9\text{(уравнение 1)}\\ y& =2-x^2\text{(уравнение 2)}\end{array}$$

Мы хотим найти значения $x$ и $y$, удовлетворяющие обоим уравнениям системы одновременно.

Для начала заметим, что уравнение 2 может быть переписано в следующем виде:

$$y+x^2=2\text{(уравнение 2")}.$$

Теперь у нас есть две системы уравнений:

$$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2& =9\text{(уравнение 1)}\\ y+x^2& =2\text{(уравнение 2")}\end{array}$$

Мы можем решить эту систему методом замены или методом исключения.

Давайте воспользуемся методом замены. В уравнении 2" мы можем выразить $y$ через $x$:

$$y=2-x^2.$$

Теперь мы можем подставить это выражение для $y$ в уравнение 1:

$$x^2+(2-x^2{)}^2=9.$$

Давайте решим это уравнение пошагово:

1. Возведем $2-x^2$ в квадрат:

$$(2-x^2{)}^2=4-4x^2+x^4.$$

2. Подставим это выражение в уравнение 1:

$$x^2+(4-4x^2+x^4)=9.$$

3. Раскроем скобки:

$$x^2+4-4x^2+x^4=9.$$

4. Соберем все слагаемые и приведем уравнение к виду квадратного уравнения:

$$x^4-3x^2-5=0.$$

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое мы можем решить.

5. Решим квадратное уравнение. Можно заметить, что это квадратное уравнение относительно $x^2$. Обозначим $x^2=t$:

$$t^2-3t-5=0.$$

6. Решаем это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение $a{t}^2+bt+c=0$ и применить формулу дискриминанта:

$$D=b^2-4ac.$$

В нашем случае:

$$a=1,b=-3,c=-5.$$

Вычислим дискриминант:

$$D=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot (-5)=9+20=29.$$

7. Так как дискриминант $D=29$ положителен, у нас есть два действительных корня для квадратного уравнения $t^2-3t-5=0$. Найдем эти корни с использованием формулы:

$$t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставим значения:

$$t_{1,2}=\frac{-(-3)\pm \sqrt{29}}{2\cdot 1}=\frac{3\pm \sqrt{29}}{2}.$$

Теперь найдем значения $x$ из уравнения $x^2=t$:

$$x_{1,2}=\sqrt{t_{1,2}}.$$

Таким образом, у нас есть четыре значения $x$:

$$x_1=\sqrt{\frac{3+\sqrt{29}}{2}},x_2=-\sqrt{\frac{3+\sqrt{29}}{2}},x_3=\sqrt{\frac{3-\sqrt{29}}{2}},x_4=-\sqrt{\frac{3-\sqrt{29}}{2}}.$$

8. Теперь, для каждого значения $x$, мы можем найти соответствующее значение $y$ с использованием выражения $y=2-x^2$:

$$y_1=2-{\left(\sqrt{\frac{3+\sqrt{29}}{2}}\right)}^2,$$
$$y_2=2-{(-\sqrt{\frac{3+\sqrt{29}}{2}})}^2,$$
$$y_3=2-{\left(\sqrt{\frac{3-\sqrt{29}}{2}}\right)}^2,$$
$$y_4=2-{(-\sqrt{\frac{3-\sqrt{29}}{2}})}^2.$$

Таким образом, у нас есть четыре значения $y$.

Мы нашли четыре пары значений $(x,y)$, которые являются решениями системы уравнений. Они имеют вид:

$$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3),(x_4,y_4).$$

Ответ на данную задачу - в системе уравнений есть четыре корня.