Сколько команд могло принять участие в футбольном круговом турнире, если в сумме было набрано 60 очков? Если возможных

Давайте рассмотрим данную задачу по шагам, чтобы ответ был понятен.

1. Сначала, давайте установим несколько фактов о футбольном турнире:
- В круговом турнире участвуют \(n\) команд.
- Каждая команда играет по одному разу с каждой другой командой.
- За победу команда получает 3 очка, за ничью - 1 очко, а за поражение - 0 очков.

2. Поскольку каждая команда играет по одному разу с каждой другой командой, общее количество матчей в турнире будет равно количеству сочетаний без повторений из \(n\) команд по 2 матча на каждую пару команд. Мы можем рассчитать количество команд, полагая, что это значение равно 60.

3. Нам известно, что за все матчи было набрано 60 очков. Если мы представим, что каждая команда выиграла все свои матчи, мы получим максимально возможное количество очков. В этом случае мы можем сказать, что всего сыграно \(n(n-1)\) матчей. Таким образом, если каждый матч приносит 3 очка, общее количество очков равно \(3n(n-1)\).

4. Теперь у нас есть уравнение: \(3n(n-1) = 60\), которое мы можем решить, чтобы найти значение \(n\).

5. Решим это уравнение:
\[3n(n-1) = 60\]
\[3n^2-3n = 60\]
\[3n^2-3n-60 = 0\]

6. Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = (-3)^2 - 4(3)(-60)\]
\[D = 9 + 720\]
\[D = 729\]

7. Теперь рассмотрим формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
\[n = \frac{-(-3) \pm \sqrt{729}}{2(3)}\]
\[n = \frac{3 \pm 27}{6}\]

8. Разделим наше уравнение на два случая, чтобы получить два возможных значения \(n\):
- Когда \(n = \frac{3 + 27}{6} = \frac{30}{6} = 5\)
- Когда \(n = \frac{3 - 27}{6} = \frac{-24}{6} = -4\)

9. Мы получили два значения \(n\), но количество команд не может быть отрицательным, поэтому мы можем отвергнуть значение -4. Значит, в этом футбольном круговом турнире может принять участие 5 команд.

Таким образом, ответ на задачу составляет 5 команд.