Сколько клеток было закрашено после проведения диагонали в клетчатом прямоугольнике размером 2019 х 2020 и закраски

Для решения этой задачи давайте воспользуемся методом подсчета закрашенных клеток через решение получившейся геометрической задачи.

Давайте представим себе клетчатый прямоугольник размером 2019 x 2020 клеток. Чтобы найти число закрашенных клеток на этом прямоугольнике, мы должны определить, какие клетки пересекает диагональ.

Для начала давайте вычислим, где находятся углы клеток, через которые проходит диагональ. Диагональ делит прямоугольник на две равные по размеру треугольные области. В каждой из этих областей один из углов прямоугольника будет лежать на диагонали.

Для прямоугольника размером 2019 x 2020, у него будет 2019 + 1 = 2020 по горизонтали и 2020 + 1 = 2021 по вертикали угол. Следовательно, общее количество клеток в прямоугольнике составляет 2020 х 2021.

Теперь, чтобы найти количество клеток, которые пересекает диагональ, мы должны найти количество клеток в каждой из двух треугольных областей.

В каждой треугольной области количество клеток вычисляется через площадь треугольника. Площадь треугольника вычисляется как половина произведения длины основания (горизонтальной стороны) треугольника на его высоту (вертикальную сторону).

Для первой треугольной области основание составляет 2019 клеток, а высота - 2020 клеток. Следовательно, площадь первой треугольной области составляет \(\frac{1}{2} \times 2019 \times 2020\).

Для второй треугольной области основание также составляет 2019 клеток, а высота - теперь 2019 клеток (поскольку треугольник развернут в другую сторону). Следовательно, площадь второй треугольной области составляет \(\frac{1}{2} \times 2019 \times 2019\).

В обоих треугольных областях количество закрашенных клеток будет одинаковым. Поэтому для нашего прямоугольника размером 2019 х 2020 общее количество закрашенных клеток будет равно двум площадям треугольных областей.

Теперь давайте посчитаем эту сумму:

\(\frac{1}{2} \times 2019 \times 2020 + \frac{1}{2} \times 2019 \times 2019\)

Осуществим простые вычисления:

\(\frac{1}{2} \times 2019 \times 2020 + \frac{1}{2} \times 2019 \times 2019 = 2040900 + 2039491 = 4080391\)

Таким образом, после проведения диагонали в прямоугольнике размером 2019 х 2020 и закрашивания всех клеток, которые пересекают эту диагональ, будет закрашено всего 4080391 клеток.