Сколько карточек необходимо выбрать без просмотра, чтобы как минимум одно из чисел было кратно 2 или?

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться принципом включений-исключений.

Дано, что у нас есть набор карточек и мы хотим выбрать из них такое количество, чтобы хотя бы одно из чисел было кратно 2 или.

Для начала, рассмотрим сколько всего карточек имеется. Позитивный вариант здесь — их бесконечное количество. Для наших расчетов предлагаю рассмотреть первые 10^6 карточек.

Теперь разобьем все числа на две группы — числа, которые делятся на 2, и числа, которые не делятся на 2. Обозначим эти группы соответственно через А и В.

Группа А будет состоять из чисел, кратных 2, а группа В — из чисел, которые не делятся на 2.

Известно, что все числа в группе А — это положительные четные числа, которые можно записать в виде 2 * k, где k – некоторое целое число. Поскольку нам интересны только числа, кратные 2 или, будут интересовать только те числа из группы А, которые не делятся на 4. Этим числам будет соответствовать следующая последовательность: 2, 6, 10, 14, ...

Теперь оценим количество чисел в каждой группе.
В группе А (положительные четные числа) будет \(\left\lfloor\frac{(10^6)}{2}\right\rfloor = 500000\) чисел.
В группе В (нечетные числа) будет \(\left\lfloor\frac{(10^6)}{2}\right\rfloor = 500000\) чисел.

Далее, посмотрим на количество чисел, которые делятся на 4 из группы А. Этот тип чисел будет соответствовать каждому четвертому числу в последовательности чисел группы А. Поскольку эта последовательность начинается с числа 2, количество таких чисел будет следующим: \(\left\lfloor\frac{(10^6)}{4}\right\rfloor = 250000\).

Теперь мы дошли до ключевого шага — применения принципа включений-исключений. Согласно этому принципу, чтобы найти количество карточек, которые нам нужно выбрать, чтобы хотя бы одно из чисел было кратно 2 или, мы должны сложить общее количество карточек из группы А и группы В и вычесть количество карточек, которые содержат числа, кратные 4.

Количество карточек с числами, кратными 4, будет равно количеству чисел из группы А, кратных 4. Так как это каждое четвертое число из последовательности чисел группы А, количество таких чисел будет \(\left\lfloor\frac{250000}{4}\right\rfloor = 62500\).

Теперь мы можем сложить количество карточек из группы А (500000) и из группы В (500000), и вычесть количество карточек, которые содержат числа, кратные 4 (62500):

\(500000 + 500000 - 62500 = 937500\).

Итак, чтобы гарантированно выбрать хотя бы одну карточку с числом, кратным 2 или, нам необходимо выбрать 937500 карточек.