Как решить уравнение cosx + 2cos(2x - п/3) = √3sin2x

Очень хорошо! Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Приведение подобных тригонометрических выражений
Для начала, обратите внимание, что у нас есть несколько тригонометрических функций, которые нужно объединить. Нам нужно привести подобные выражения.

Известно, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x), поэтому мы можем преобразовать выражение:
cos(x) + 2cos(2x - п/3) = √3sin(2x)

Воспользуемся формулой для cos(2x - п/3):
cos(2x - п/3) = cos(2x)cos(п/3) + sin(2x)sin(п/3)

Теперь мы можем заменить cos(2x - п/3) в исходном уравнении:
cos(x) + 2(cos(2x)cos(п/3) + sin(2x)sin(п/3)) = √3sin(2x)

Шаг 2: Упрощение уравнения
Давайте разберемся с уравнением и упростим его.

cos(x) + 2cos(2x)cos(п/3) + 2sin(2x)sin(п/3) = √3sin(2x)

Теперь, чтобы упростить уравнение дальше, давайте заменим sin(2x) = 2sin(x)cos(x):
cos(x) + 2cos(2x)cos(п/3) + 2(2sin(x)cos(x))sin(п/3) = √3(2sin(x)cos(x))

Еще немного упростим:
cos(x) + 2cos(2x)cos(п/3) + 4sin(x)cos(x)sin(п/3) = 2√3sin(x)cos(x)

Шаг 3: Приведение подобных и преобразование уравнения
Теперь у нас есть уравнение, в котором присутствуют cos(x) и sin(x). Мы можем привести подобные слагаемые и преобразовать его.

cos(x) + 2cos(2x)cos(п/3) - 2√3sin(x)cos(x) = 0

Теперь объединим cos(x) и -2√3sin(x)cos(x):
cos(x) - 2√3sin(x)cos(x) + 2cos(2x)cos(п/3) = 0

Шаг 4: Раскрытие скобок и упрощение
Раскроем скобки и упростим уравнение:

cos(x) - 2√3sin(x)cos(x) + 2(cos^2(x) - sin^2(x))cos(п/3) = 0

Теперь давайте приведем схожие слагаемые и объединим их:
cos(x) - 2√3sin(x)cos(x) + (2cos^2(x) - 2sin^2(x))cos(п/3) = 0

Шаг 5: Преобразование с использованием формулы cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x)
Теперь мы можем использовать формулу cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x), чтобы упростить уравнение еще больше:

cos(x) - 2√3sin(x)cos(x) + 2cos(2x)cos(п/3) = 0

Теперь у нас есть уравнение только с cos и sin.

Вот и все! Мы решили данное уравнение пошагово и получили уравнение, содержащее только cos(x) и sin(x). Если есть необходимость, мы можем продолжить решение дальше.