Сколько элементов в арифметической прогрессии со значениями 10; 14; ... находятся в интервале от 120 до 370?

Хорошо, давайте решим вашу задачу. Дана арифметическая прогрессия с первым членом равным 10 и разностью между соседними членами, равной 4. Нам нужно найти количество элементов в этой прогрессии, которые находятся в интервале от 120 до 370.

Для решения этой задачи нам нужно найти первый и последний члены прогрессии, которые находятся в данном интервале. Затем мы подсчитаем количество элементов между ними.

Чтобы найти первый член прогрессии, нам нужно знать значение разности и номер этого члена. Мы знаем, что первый член равен 10, поэтому нам нужно найти номер этого члена. Чтобы это сделать, мы используем формулу:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

где \(a_n\) - значение n-го члена прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии, \(d\) - разность между соседними членами прогрессии.

В нашем случае, \(a_1 = 10\) и \(d = 4\). Мы хотим найти номер члена, который попадает в интервал от 120 до 370. Заметим, что \((n-1)d\) должно быть меньше или равно 370.

Подставим эти значения в формулу:

\[370 \geq 10 + (n-1)4\]

Избавимся от скобок:

\[370 \geq 10 + 4n - 4\]

Упростим:

\[370 \geq 6 + 4n\]

Вычтем 6 из обеих частей:

\[364 \geq 4n\]

Разделим обе части на 4:

\[91 \geq n\]

То есть, номер члена прогрессии, который попадает в интервал от 120 до 370, должен быть меньше или равен 91.

Теперь мы должны найти последний член прогрессии, который попадает в этот интервал. Мы можем использовать ту же формулу, меняя только значение номера члена. В нашем случае, номер члена равен 91:

\[a_{91} = 10 + (91-1)4\]

Вычислим:

\[a_{91} = 10 + 90 \cdot 4 = 10 + 360 = 370\]

Таким образом, последний член прогрессии, который попадает в интервал от 120 до 370, равен 370.

Теперь мы можем найти количество элементов, которые находятся в этом интервале. Мы можем использовать формулу:

\[n = \frac{{a_n - a_1}}{d} + 1\]

где \(n\) - количество элементов, \(a_n\) - значение последнего члена прогрессии, \(a_1\) - значение первого члена прогрессии, \(d\) - разность между соседними членами прогрессии.

Подставим наши значения:

\[n = \frac{{370 - 10}}{4} + 1\]

Вычислим:

\[n = \frac{{360}}{4} + 1 = 90 + 1 = 91\]

Таким образом, в арифметической прогрессии со значениями 10, 14, ... находится 91 элемент в интервале от 120 до 370.