Сколько элементов в арифметической прогрессии со значениями 10; 14; ... находятся в интервале от 120 до 370?

Хорошо, давайте решим вашу задачу. Дана арифметическая прогрессия с первым членом равным 10 и разностью между соседними членами, равной 4. Нам нужно найти количество элементов в этой прогрессии, которые находятся в интервале от 120 до 370.

Для решения этой задачи нам нужно найти первый и последний члены прогрессии, которые находятся в данном интервале. Затем мы подсчитаем количество элементов между ними.

Чтобы найти первый член прогрессии, нам нужно знать значение разности и номер этого члена. Мы знаем, что первый член равен 10, поэтому нам нужно найти номер этого члена. Чтобы это сделать, мы используем формулу:

$$a_n=a_1+(n-1)d$$

где $a_n$ - значение n-го члена прогрессии, $a_1$ - первый член прогрессии, $n$ - номер члена прогрессии, $d$ - разность между соседними членами прогрессии.

В нашем случае, $a_1=10$ и $d=4$. Мы хотим найти номер члена, который попадает в интервал от 120 до 370. Заметим, что $(n-1)d$ должно быть меньше или равно 370.

Подставим эти значения в формулу:

$$370\ge 10+(n-1)4$$

Избавимся от скобок:

$$370\ge 10+4n-4$$

Упростим:

$$370\ge 6+4n$$

Вычтем 6 из обеих частей:

$$364\ge 4n$$

Разделим обе части на 4:

$$91\ge n$$

То есть, номер члена прогрессии, который попадает в интервал от 120 до 370, должен быть меньше или равен 91.

Теперь мы должны найти последний член прогрессии, который попадает в этот интервал. Мы можем использовать ту же формулу, меняя только значение номера члена. В нашем случае, номер члена равен 91:

$$a_{91}=10+(91-1)4$$

Вычислим:

$$a_{91}=10+90\cdot 4=10+360=370$$

Таким образом, последний член прогрессии, который попадает в интервал от 120 до 370, равен 370.

Теперь мы можем найти количество элементов, которые находятся в этом интервале. Мы можем использовать формулу:

$$n=\frac{a_n-a_1}{d}+1$$

где $n$ - количество элементов, $a_n$ - значение последнего члена прогрессии, $a_1$ - значение первого члена прогрессии, $d$ - разность между соседними членами прогрессии.

Подставим наши значения:

$$n=\frac{370-10}{4}+1$$

Вычислим:

$$n=\frac{360}{4}+1=90+1=91$$

Таким образом, в арифметической прогрессии со значениями 10, 14, ... находится 91 элемент в интервале от 120 до 370.