Найдите все значения x, при которых неравенство 5^4x - 6*5^2x + 5 имеет отрицательное значение

Хорошо, давайте разберем эту задачу пошагово.

У нас дано неравенство: \(5^{4x} - 6 \cdot 5^{2x} + 5 < 0\). Мы хотим найти все значения \(x\), при которых это неравенство будет истинным, то есть когда левая часть будет отрицательной.

1. Разложим \(5^{4x}\) и \(5^{2x}\) в произведение:

\(5^{4x} = (5^{2x})^2 = (5^x)^4\)

\(5^{2x} = (5^x)^2\)

Теперь наше неравенство примет вид:

\((5^x)^4 - 6 \cdot (5^x)^2 + 5 < 0\)

2. Найдем общий знаменатель для левой части:

Введем замену \(t = 5^x\). Тогда наше неравенство примет вид:

\(t^4 - 6t^2 + 5 < 0\)

3. Решим это квадратное уравнение относительно \(t\). Для этого найдем его корни:

Обозначим наше квадратное уравнение как \(f(t) = t^4 - 6t^2 + 5\), и найдем его корни:

\[t = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

Где \(a = 1\), \(b = -6\), и \(c = 5\).

Подставим значения в формулу:

\[t = \frac{{6 \pm \sqrt{{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}}}{{2 \cdot 1}}\]
\[t = \frac{{6 \pm \sqrt{{36 - 20}}}}{{2}}\]
\[t = \frac{{6 \pm \sqrt{{16}}}}{{2}}\]
\[t = \frac{{6 \pm 4}}{{2}}\]

Получаем два значения \(t\):
\(t_1 = 5\) и \(t_2 = 1\)

4. Подставим найденные значения \(t\) обратно в исходное уравнение и решим неравенство:

Заменяя назад \(t = 5^x\), получаем два уравнения:

\(5^x = 5\) и \(5^x = 1\)

Решим первое уравнение:
\[5^x = 5\]
Так как \(5\) можно представить как \(5^1\), получаем:
\[x = 1\]

Решим второе уравнение:
\[5^x = 1\]
Вспомним, что любое число, возведенное в нулевую степень, равно \(1\). То есть:
\[x = 0\]

Итак, мы нашли два значения \(x\), при которых исходное неравенство имеет отрицательное значение: \(x = 0\) и \(x = 1\).

Пожалуйста, обратите внимание, что в данной задаче было необходимо использовать алгебру и замены переменных для решения уравнения. Возможно, вы захотите проверить эти значения, подставив их обратно в исходное неравенство, чтобы удостовериться в правильности ответа.