Сколько целых чисел попадает в диапазон значений функции f (x)=√2+x-x^2+4-x/x-1?

Для начала, давайте разберемся с определением функции $f(x)$:

$$f(x)=\sqrt{2+x}-x^2+\frac{4-x}{x-1}$$

Чтобы найти диапазон значений функции $f(x)$, нам нужно выяснить, какие значения может принимать функция для всех возможных значений аргумента $x$.

Для начала определим область допустимых значений $x$. В знаменателе у нас есть выражение $x-1$, поэтому мы не можем допустить $x=1$. Также, поскольку у нас есть корень из $2+x$, необходимо убедиться, что выражение под корнем неотрицательно:

$$2+x\ge 0\Rightarrow x\ge -2$$

Таким образом, областью допустимых значений будет интервал $(-2,1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$.

Теперь перейдем к поиску диапазона значений функции $f(x)$. Для начала, рассмотрим каждый компонент функции отдельно.

1. $\sqrt{2+x}$: Корень всегда дает неотрицательное значение. Поскольку $x\ge -2$, то значение под корнем будет неотрицательным. Следовательно, $\sqrt{2+x}\ge 0$.

2. $-x^2$: Квадрат всегда дает неотрицательное значение, поэтому $-x^2\le 0$.

3. $\frac{4-x}{x-1}$: Для упрощения рассмотрим два случая:
- Когда $x<1$: Обращаем внимание, что в этом случае $4-x>0$ и $x-1<0$. Таким образом, $\frac{4-x}{x-1}$ будет иметь положительное значение.
- Когда $x>1$: Здесь $4-x<0$ и $x-1>0$, так что $\frac{4-x}{x-1}$ будет отрицательным числом.

Теперь объединим компоненты функции $f(x)$:

1. $\sqrt{2+x}\ge 0$
2. $-x^2\le 0$
3. $\frac{4-x}{x-1}>0$ при $x<1$
4. $\frac{4-x}{x-1}<0$ при $x>1$

Из этих условий, получаем следующую информацию о диапазоне значений функции $f(x)$:

- Если $x<1$, то функция принимает только положительные значения.
- Если $x>1$, то функция принимает только отрицательные значения.

Таким образом, диапазон значений функции $f(x)$ это отрицательные числа для $x>1$ и положительные числа для $x<1$.

Надеюсь, эта подробная информация помогла вам лучше понять задачу. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте!