Сколько целых чисел попадает в диапазон значений функции f (x)=√2+x-x^2+4-x/x-1?

Для начала, давайте разберемся с определением функции \( f(x) \):

\[ f(x) = \sqrt{2+x} - x^2 + \frac{4-x}{x-1} \]

Чтобы найти диапазон значений функции \( f(x) \), нам нужно выяснить, какие значения может принимать функция для всех возможных значений аргумента \( x \).

Для начала определим область допустимых значений \( x \). В знаменателе у нас есть выражение \( x-1 \), поэтому мы не можем допустить \( x = 1 \). Также, поскольку у нас есть корень из \( 2 + x \), необходимо убедиться, что выражение под корнем неотрицательно:

\[ 2 + x \geq 0 \Rightarrow x \geq -2 \]

Таким образом, областью допустимых значений будет интервал \((-2, 1) \cup (1, +\infty)\).

Теперь перейдем к поиску диапазона значений функции \( f(x) \). Для начала, рассмотрим каждый компонент функции отдельно.

1. \(\sqrt{2+x}\): Корень всегда дает неотрицательное значение. Поскольку \( x \geq -2 \), то значение под корнем будет неотрицательным. Следовательно, \(\sqrt{2+x} \geq 0\).

2. \( -x^2 \): Квадрат всегда дает неотрицательное значение, поэтому \(-x^2 \leq 0\).

3. \( \frac{4-x}{x-1} \): Для упрощения рассмотрим два случая:
- Когда \( x < 1 \): Обращаем внимание, что в этом случае \( 4 - x > 0 \) и \( x - 1 < 0 \). Таким образом, \(\frac{4-x}{x-1}\) будет иметь положительное значение.
- Когда \( x > 1 \): Здесь \( 4 - x < 0 \) и \( x - 1 > 0 \), так что \(\frac{4-x}{x-1}\) будет отрицательным числом.

Теперь объединим компоненты функции \( f(x) \):

1. \(\sqrt{2+x} \geq 0\)
2. \( -x^2 \leq 0\)
3. \(\frac{4-x}{x-1} > 0\) при \( x < 1 \)
4. \(\frac{4-x}{x-1} < 0\) при \( x > 1 \)

Из этих условий, получаем следующую информацию о диапазоне значений функции \( f(x) \):

- Если \( x < 1 \), то функция принимает только положительные значения.
- Если \( x > 1 \), то функция принимает только отрицательные значения.

Таким образом, диапазон значений функции \( f(x) \) это отрицательные числа для \( x > 1 \) и положительные числа для \( x < 1 \).

Надеюсь, эта подробная информация помогла вам лучше понять задачу. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте!